【谷歌面試題】給出一個陣列A，找出一對 (i, j)使得A[i]

題目：給出一個陣列A，找出一對 (i, j)使得A[i] <= A[j] (i <= j)並且j-i最大 ，若有多個這樣的位置對，返回i最小的那一對。

最直接的想法就是對於每一個 i 從陣列最尾端開始向前找到第一個大於等於 A[i] 的位置 j ，時間複雜度O(n^2)。

pair<int, int> find(const vector<int> &A)
{
	int n = A.size();
	if(n == 0)
		throw new invalid_argument("Array's size can't be 0!");

	int target_i = 0, target_j = 0;
	int max_len = 0;
	for(int i = 0; i < n; ++i)
	{
		int j;
		for(j = n-1; j >= i; --j)
			if(A[j] >= A[i])
				break;
		if(j-i+1 > max_len)
		{
			target_i = i;
			target_j = j;
			max_len = j-i+1;
		}
	}

	return make_pair<int, int>(target_i, target_j);
}

我們對上述演算法稍作優化。當i=0時，我們假設找到的大於A[i]的最右位置是j0，那麼對於i=1時，我們根本就不需要考慮小於j0的位置，因為它們的區間長度都小於j0+1，不可能成為最優解。

pair<int, int> find(const vector<int> &A)
{
	int n = A.size();
	if(n == 0)
		throw new invalid_argument("Array's size can't be 0!");

	int target_i = 0, target_j = 0;
	int max_len = 0;
	for(int i = 0; i < n; ++i)
	{
		int j;
		for(j = n-1; j > target_j; --j) // 此處只需檢查到target_j
			if(A[j] >= A[i])
				break;
		if(j-i+1 > max_len)
		{
			target_i = i;
			target_j = j;
			max_len = j-i+1;
		}
	}

	return make_pair<int, int>(target_i, target_j);
}

但時間複雜度仍然是O(n^2)的。我們可以繼續接著上面的思路優化。其實對於位置 i 求最後一個大於等於它的位置，不需要每次都從陣列尾部向前找，我們可以通過改進這個地方將時間複雜度變為O(n)。

過程是這樣的，對於 i ，我們先找到 i 及其右端的最大元素的位置 j ，檢查是否比當前記錄的最優解更優，更新。然後考慮 j+1及其右端的最大元素位置是否大於等於A[i]，若是，令 j 等於該位置，重複如上過程，若否，那麼從位置i+1重新開始，但j仍然從當前位置考慮即可，原因上面已說明。這樣時間複雜度就成O(n)的了。

具體請參考程式碼

pair<int, int> find(const vector<int> &A) 
{
	int n = A.size();
	if(n == 0)
		throw new invalid_argument("Array's size can't be 0!");

	vector<int> right_max_pos(n);
	right_max_pos[n-1] = n-1;
	for(int i = n-2; i >= 0; --i)
	{
		if(A[i] > A[right_max_pos[i+1]])
			right_max_pos[i] = i;
		else
			right_max_pos[i] = right_max_pos[i+1];
	}

	int max_len = 0;
	int target_i, target_j;
	int i = 0, j = 0;
	while(j < n)
	{
		j = right_max_pos[j];
		if(A[j] >= A[i])
		{
			if(j-i+1 > max_len)
			{
				target_i = i;
				target_j = j;
				max_len = j-i+1;
			}
			++j;
		}
		else
			++i;
	}

	return make_pair<int, int>(target_i, target_j);
}

這裡簡單說一下測試方法，測試我們可以先測試最簡單的實現方案，這裡的第一種實現，因為這種實現簡單，出現錯誤的可能性小，測試起來簡單。測試時可以不考慮時間複雜度，只考慮正確性。然後我們使用此經過測試過的演算法的輸入輸出去測試其他演算法（對比結果）。