計算方法之祖沖之的精度

山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾。

π≈3.1415926535≈22/7≈355/113

祖沖之（429年-500年）是我國古代偉大的數學家。他改進了劉徽（約225年—約295年）的割圓術，把圓周率計算到小數點後第7位，即3.1415926<π<3.1415927，還給出了約率（22 7≈3.143）="" 和密率（355="" 113≈3.1415929）。《算經十書》收錄過祖沖之的《綴術》五卷，然而“學官莫能究其深奧，故廢而不理”（《隋書》）。祖沖之到底是怎麼計算π的，我們現在並不清楚。

往事越千年。隨著科學知識的普及，每個大學一年級的學生，都可以輕鬆地把π計算到祖沖之的精度，但是，他們中的一些人並沒有意識到自己的能力。

中學生的方法

對於半徑為1的圓，其周長2π和麵積π都可以用來計算圓周率。這個圓的內切正n邊形和外切正n邊形的周長和麵積，在n趨於無窮大的時候，都趨近於圓的周長和麵積。

內切正n邊形的周長是2nsin(π/n),外切正n邊形的周長是2n tan(π/n),對於所有的n，都有

當然，我們不能用這個公式來計算π值，否則就迴圈論證了。但是，我們可以選擇適當的正n邊形，並逐漸增大n。最常用的方法是從正6邊形開始，然後逐步加倍，12、24、48、96，等等。這是因為內切正6邊形的邊長是1，外切正6邊形的邊長是，都是很好算的數值。

內切正邊形的邊長是，其中，。如果知道了，就很容易知道

再根據，就可以遞推地得到所有的，而。

同樣的方法，可以得到外切正邊形的邊長的遞推公式是

再根據，就可以遞推地得到所有的，而。

利用這些公式，就可以得到π值如下 ：

表面看來，剛才這些計算涉及了三角函式，其實不用三角函式也可以得到相應的遞推公式，因為只涉及到勾股定理。比如說，對於內切正多邊形，AB的長度為，AC的長度為，則

這裡只涉及開平方和加減乘除，原則上誰都可以算的，但是計算太繁瑣了，如果沒有計算器，是很難算的。中國古代沒有我們現在的阿拉伯數字系統，計算起來很不方便，雖然說有人能夠“照位運籌如飛,人眼不能逐”（ 沈括《夢溪筆談·技藝》），恐怕也不能採用蠻力來計算π值。

大學生的方法

在單位圓裡，弧邊梯形AOCB的面積減去三角形BOC的面積，就是扇形角AOB（張角為ϕ）的面積（ϕ/2），由此可以得到圓周率π。

AOCB的面積是，而BOC的面積是，扇形角AOB的面積就是

把積分裡的用二項式定理展開，就可以得到

選擇一些簡單的ϕ值，就可以得到π值

需要注意的是，上面這兩種方法都是野蠻處理，計算只涉及加減乘除和開方（用於計算sin 值），原則上來說，可以用手算出來的（開方可以用迭代法得到），儘管我這裡的結果來自於計算機（我手算過15度，確認是可以算的，可是後來發現結果有點錯兒）。這些方法甚至都沒有用到劉徽不等式，也沒有給出π值的上下限，從證明技巧上來說，還遠不如古人，更不用說符合現代數學的嚴格要求了。然而，科學知識的普及，使得我們這個時代的普通人也能輕鬆達到古代傑出人物的計算水平，卻是無可置疑的。

∑編輯 | Gemini

來源 | 科學網

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