數學簡史：現代數學的五大應用

1

理論物理學

現在，我們來談談數學向人類文明的其它結晶（科學）的滲透。先來看物理學，18世紀是數學與經典力學相結合的黃金時代，19世紀數學主要應用於電磁學，產生了劍橋大學數學物理學派，其中最具代表性的成就是麥克斯韋（Maxwell，1831—1879）建立的電磁學方程組，由4個簡潔的偏微分方程組成。據說麥克斯韋最初得到的方程組比較複雜，因為他相信表達物理世界的數學應該是美的，因而推倒重來。

就讀劍橋大學時的麥克斯韋

麥克斯韋是蘇格蘭人，這個流行男子穿格子短裙的民族所產生的偉大發明家按人口比例堪稱世界之最。在麥克斯韋之前有（實用）蒸汽機發明人瓦特（Watt，1736—1819），之後有電話發明人亞歷山大·貝爾（Bell，1847—1922）、胰島素髮明人麥克勞德（Macleod，1876—1935，與人合作）、青黴素發明人弗萊明（Fleming，1881—1955）、電視發明人貝爾德（Baird，1888—1946）。

此外，還有第一個將經濟理論完整化和系統化的亞當·斯密（Adam Smith，1723—1790）。斯密的代表作《國富論》的中心思想是：看似混亂的自由市場實際上有一種自動調控機制，它傾向於以最合適的數量生產那些社會上最受歡迎和最需要的產品。

愛因斯坦的數學老師閔可夫斯基

進入20世紀以後，數學相繼在相對論、量子力學以及基本粒子等理論物理學領域得到應用。1908年，德國數學家閔可夫斯基提出了空間和時間的四維時空結構R(3,1)，即通過（c為真空中的光速）

為愛因斯坦（Einstein，1879—1955）的狹義相對論（1905）提供了最適用的數學模型，這種結構後來被稱為“閔可夫斯基空間”。有趣的是，閔可夫斯基對他早年的學生愛因斯坦的數學才能卻毫無印象。

有了這個模型以後，愛因斯坦又進一步研究了引力場理論。等到1912年夏天，他已經概括出這一理論的基本原理，可是由於他只會使用一些最簡單的數學工具，甚至微積分的方法也不會用（他自稱那樣會使讀者被驚呆），自然難以提煉出方程來。這個時候愛因斯坦在蘇黎世遇到一位數學家，後者幫助他學會了以黎曼幾何為基礎的微分學，後來他把它叫作“張量分析”。經過三年多的努力，在1915年11月25日發表的一篇論文中，愛因斯坦給出了引力場方程：

其中g_μv是度量張量，k為常數。愛因斯坦指出，“有了這個方程，廣義相對論作為一種邏輯結構終於成立了！”

愛因斯坦故居，他在這裡發明了相對論（作者攝於伯爾尼）

值得一提的是，雖然愛因斯坦在1915年創立了廣義相對論，但他的工作成果發表於1916年。巧合的是，幾乎是同時，另一個德國人、數學家希爾伯特沿著另一條道路也得到了上述引力場方程。希爾伯特採用的是公理化方法，同時運用了諾特關於連續群的不變數理論。他向哥廷根科學院提交這篇論文的時間是1915年11月20日，發表論文的時間也比愛因斯坦早了5天。

依照愛因斯坦的廣義相對論，時空整體上是不均勻的，只在微小的區域內例外。在數學上，這個非均勻的時空可以藉助下列的黎曼度量來描述：

廣義相對論的這個數學描述第一次揭示了非歐幾何學的現實意義，也成為歷史上最偉大的數學應用例子之一。可是，與建立萬有引力定律的牛頓相比，愛因斯坦稍顯遜色，因為牛頓力學的數學基礎——微積分是由牛頓自己創立的。

與相對論不同，量子力學與一群物理學家的名字相聯絡。普朗克（Planck，1855—1947）、愛因斯坦、玻爾（Bohr，1855—1962）是開拓者，薛定諤（Schrödinger，1887—1961）、海森堡（Heisenberg，1901—1976）、狄拉克等分別以波動力學、矩陣力學和變換理論的形式建立起量子力學。為了將這些理論融合成統一的體系，需要新的數學理論。希爾伯特使用積分方程等分析工具，馮·諾依曼進一步藉助希爾伯特空間理論，去解決量子力學的特徵值問題，並最終將希爾伯特的譜理論推廣到量子力學中經常出現的無界運算元情形，從而奠定了這門學科的嚴格的數學基礎。

在20世紀下半葉，還有多項物理學的工作需要應用抽象的純粹數學，例如著名的規範場理論和超弦理論。1954年，楊—米爾斯理論的提出揭示了規範不變性可能是自然界中所有4種力（電磁力、引力、強力和弱力）相互作用的共性，這使得已經存在的規範場理論重新引起人們的注意，並試圖用這個理論來統一自然力的相互作用。

結果，數學家們很快發現，統一場論所需要的數學工具——纖維叢微分幾何早就有了，楊—米爾斯方程實際上是一組偏微分方程，對它們的進一步研究也推動了數學的發展。1963年被證明的阿蒂亞—辛格指標定理也在楊—米爾斯理論中獲得重要應用，成為連線純粹數學和理論物理的又一座橋樑，其研究方法涉及分析學、拓撲學、代數幾何、偏微分方程和多複變函式等諸多核心數學分支，因而常被用來論證現代數學的統一性。

超弦理論或弦理論興起於20世紀80年代，它把基本粒子看作一些伸展的一維絃線般的無質量的實體（其長度約為10–33釐米，被稱為普朗克長度），以代替其他理論中所用的在時空中無尺寸的點。這個理論以引力理論、量子力學和粒子相互作用的統一數學描述為目標，成為數學家與物理學家攜手合作的一個最活躍的領域，其中所用到的數學涉及微分拓撲、代數幾何、微分幾何、群論、無窮維代數、複分析和黎曼曲面上的模理論等。可以想象，與它相聯絡的物理學家和數學家不計其數。

2

生物學和經濟學

除了物理學以外，數學還在其他自然科學和社會科學領域發揮了重要作用。限於篇幅，我們僅以生物數學和數理經濟學為例。與物理學相比，生物學是一門年輕的學科，在17世紀顯微鏡發明以後才真正步入正軌，但它和物理學是自然科學的兩個最重要的分支。生物學研究中數學方法的引進也相對遲緩，大約始於20世紀初。多才多藝的英國數學家皮爾遜（Pearson，1857—1936）率先將統計學應用於遺傳和進化問題的研究，並於1899年創辦了《生物統計》雜誌，這是最早的生物數學雜誌。

1926 年，義大利數學家沃爾泰拉（Volterra，1860—1940）提出了下列微分方程，成功地解釋了地中海中不同魚種週期消長的現象，其中x表示被食小魚數，y表示食肉大魚數。這個方程組也被稱為“沃爾泰拉方程”，它開了用微分方程建立生物模型的先河。

20 世紀50年代，在英國和美國出現了兩項轟動性的成果，即描述神經脈衝傳導的數學模型霍奇金—赫胥黎方程（此赫胥黎為安德魯·赫胥黎，他是達爾文進化論支持者托馬斯·赫胥黎之孫、小說家阿道司·赫胥黎之弟）和視覺系統側抑制作用的哈特蘭—拉特利夫方程，它們都是複雜的非線性方程，引起了數學家和生物學家的興趣。有意思的是，前三位分別因此獲得1963年和1967年的諾貝爾生理學或醫學獎，而拉特利夫（Ratliff，1919—1999）只因為這個方程和作為哈特蘭（Hartline，1903—1983）的前同事被人們記住。

生理學家赫胥黎，生物學家赫胥黎之孫，作家赫胥黎之弟

沃森、克里克和DNA模型

1953 年，即霍奇金—赫胥黎方程誕生的第二年，美國生物化學家沃森（Watson，1928—）和英國物理學家克里克（Crick，1916—2004），發現了脫氧核糖核酸（DNA）的雙螺旋結構，這不僅標誌著分子生物學的誕生，也把抽象的拓撲學引入了生物學。因為在電子顯微鏡下可以看到，雙螺旋鏈有纏繞和紐結，這樣一來，代數拓撲學的紐結理論便有了用武之地，並應驗了一個多世紀前高斯的預言。1984年，紐西蘭出生的美國數學家瓊斯（Jones，1952—）建立了關於紐結的不變數——瓊斯多項式，幫助生物學家對在DNA結構中觀察到的紐結進行分類，瓊斯也因此獲得了1990年的菲爾茲獎。

沃森和克里克獲得了1962年的諾貝爾生理學或醫學獎，但他們的發現的意義還沒有得到充分認識。這裡我想多說幾句。先用物理學來做參照，它主要探討巨集觀世界（原子內部結構的重要性也在於核聚變和核裂變產生的巨大能量），而生物學則側重研究微觀的事物（細胞和基因）。達爾文的進化論和伽利略的自由落體運動定律一樣，主要表現了生命和物體運動的外在規律，而牛頓的萬有引力定律則發現了物體乃至宇宙運動的內在規律和原因，與此相對應的生物學成就則是揭示了生命奧祕的DNA雙螺旋結構。值得一提的是，沃森和克里克是在他們平日和同事們常去的劍橋老鷹酒吧宣佈這一里程碑式的發現的。

1979 年的諾貝爾生理學或醫學獎由兩位非本行的專家一起獲得，即南非出生的美國物理學家科馬克（Cormack，1924—1998）和英國電器工程師豪斯菲爾德（Housfield，1919—2004）。在開普頓一家醫院的放射科做兼職時，身為物理學講師的科馬克就對人體軟組織和不同密度組織層的X射線成像問題產生了興趣，到美國任教後，他建立起計算機掃描的數學基礎，即人體不同組織對X射線吸收量的計算公式。這個公式建立在積分幾何的基礎之上，解決了計算機斷層掃描的理論問題。這項工作促使豪斯菲爾德發明了第一臺計算機X射線斷層掃描器，即CT掃描器，並在臨床試驗中取得成功。

下面我們要談的是數理經濟學，這門學科是由匈牙利數學家馮·諾依曼開啟的。他在與人合著的《博弈論與經濟行為》（1944）中提出競爭的數學模型並應用於經濟問題，這成為數理經濟學的開端。整整半個世紀以後，美國數學家納什（Nash，1928—2015）和德國經濟學家澤爾藤（Selten，1930—）因為博弈論研究獲得諾貝爾經濟學獎。納什患有精神疾病，是被改編成電影的小說《美麗心靈》的主人公原型，他建立了納什均衡理論，解釋博弈雙方的策略和行動。納什因為在非線性偏微分方程方面所做的貢獻而獲得數學界的至高榮譽——阿貝爾獎，則是在他生命的最後一年。

電影《美麗心靈》主人公原型納什

如果說前蘇聯數學家康託羅維奇（Kantorovich，1912—1986）的線形規劃論和荷蘭出生的美國經濟學家庫普曼斯（Koopmans，1910—1985）的生產函式所用的數學理論還比較簡單（他們因為在資源最佳配置理論方面的貢獻獲得1975年的諾貝爾經濟學獎），那麼法國出生的美國經濟學家德布魯（Debreu，1927—2004）和另一位美國經濟學家阿羅（Arrow，1921—2017）所用的凸集和不動點理論就較為深刻了，他們建立的均衡價格理論的後續研究使用了微分拓撲、代數拓撲、動力系統和大範圍分析等抽象的數學工具。有意思的是，阿羅和德布魯獲得諾貝爾經濟學獎卻相隔多年（分別是在1972年和1983年）。

20 世紀70年代以來，隨著隨機分析進入經濟學領域，尤其美國經濟學家費希爾·布萊克（Black，1938—1995）和加拿大出生的美國經濟學家斯科爾斯（Scholes，1941—）將期權的定價問題歸結為一個隨機微分方程的解，並匯出與實際較為吻合的期權定價公式，即布萊克—斯科爾斯公式。在此以前，投資者無法精確地確定期權的價格，而這個公式把風險溢價因素計入期權價格，從而降低了期權投資的風險。後來美國經濟學家默頓（Merton，1944—）消除了許多限制，使得該公式亦適用於金融交易的其他領域，如住房抵押。1997年，默頓和斯科爾斯分享了諾貝爾經濟學獎。

可是，進入21世紀以來，美國發生了次貸金融危機，嚴重影響了世界經濟的發展。在正常情況下，客戶一般向銀行申請貸款。可是，一部分客戶出於信用條件差或其他原因，銀行不願意與他們簽訂貸款協議。於是，就有貸款機構發放信用要求寬鬆但利率較高的貸款。次級貸款蘊含較大的違約風險，主要原因在於其衍生產品。有關部門不願意獨自承擔風險，往往會將這些產品打包出售給投資銀行、保險公司或對衝機構。這些衍生品看不見摸不著，其價格以及打包方式無法通過人為的簡單判斷來確定，這就催生了一個新興的數學分支——金融數學。

在衍生品的定價過程中，有兩個非常重要的引數，即折現率和違約概率，前者基於某個隨機微分方程，後者服從泊松分佈。通過遭遇這次世界性的金融危機，人們發現這兩種數學手段以及其他估價手段還需要更精準。20世紀90年代，同一年（1947）出生的中國數學家彭實戈和法國數學家巴赫杜（Pardoux）合作創立了倒向隨機微分方程，現已成為研究金融產品定價的重要工具。

18世紀初，雅各布·伯努利說過，從事物理學研究而不懂數學的人，實際上處理的是意義不大的事情。到了21世紀，金融業或銀行業也出現了這種情況，有著200多年曆史的美國花旗銀行宣稱，他們有70%的業務依賴於數學，同時強調如果沒有數學花旗銀行就不可能生存下去。

最後，值得一提的是，康託羅維奇的線性規劃論是運籌學中最早成熟的研究內容和分支之一。運籌學可以定義為，管理系統的人為了獲得關於系統執行的最優解而必須使用的一種科學方法，主要依賴於數學方法和邏輯判斷。與運籌學幾乎同時脫胎於第二次世界大戰的應用數學學科還有控制論和資訊理論，其創始人分別是美國數學家維納（Wiener，1894—1964）和夏農（Shannon，1916—2001），兩人退休前都在麻省理工學院任教，也都是公眾人物。維納18歲就獲得哈佛大學博士學位，出版過兩本自傳——《昔日神童》和《我是一個數學家》；夏農則被譽為數字通訊時代的奠基人。

在維納看來，控制論是一門研究機器、生物社會中的控制和通訊的一般規律的科學，是研究動態系統在變的環境條件下如何保持平衡或穩定狀態的科學。他創造了cybernetics這個詞，希臘文原意為“操舵術”，就是掌舵的方法和技術的意思。在柏拉圖的著作中，常用它來表示管理人的藝術。資訊理論是一門用數理統計方法來研究資訊的度量、傳遞和變換規律的科學。

需要注意的是，這裡的資訊指的不是傳統的訊息，而是一種秩序的等級或非隨機性的程度，可以測量或用數學方法處理，就像質量、能量或其他物理量一樣。

3

計算機和混沌理論

一般來說，計算機是指能接收資料，按照程式指令進行運算並提供運算結果的自動電子機器。在計算機的歷史上，起重要革新作用的幾乎全是數學家。直到20世紀70年代末，中國大學裡的電子計算機專業還大多設在數學系，就像康德時代數學隸屬於哲學系一樣。可是如今，多數大學都有了一兩個計算機學院。用機器來代替人工計算，一直是人類的夢想。

或許最早使用算盤的並非中國人，但長期以來使用最廣泛的當屬中國的算盤。在明代（1371）出版的一本書裡，就有十檔算盤的插圖，但它的實際發明時間遠在此之前。數學家程大位（1533—1606）的《演算法統宗》（1592）詳述了珠算的規則、口訣和方法，標誌著珠算的成熟。這本書也流傳到朝鮮和日本，使得算盤在這兩個國家十分流行。

第一個提出機械計算機設計思想的是德國人席卡德（Schickard，1592—1635），他在與開普勒通訊時闡述了這一想法。第一臺能進行加減計算的機械計算機是由帕斯卡發明的（1642），30年後萊布尼茨製造出一臺能進行乘除和開方運算的計算機。

使計算機擁有能對資料進行各種運算的裝置，是向現代計算機過渡的關鍵一步，由英國數學家巴貝奇（Babbage，1792—1871）首先邁出，在數論裡有一個與二項式係數有關的同餘式用他的名字命名。巴貝奇設計的“分析機”（1834）分為運算室和儲存庫，外加一個專門控制運算程式的裝置，他曾設想根據穿孔卡片上的“0”和“1”來控制運算的順序，這無疑是現代電子計算機的雛形。

郵票上的巴貝奇

遺憾的是，即便巴貝奇付出後半生的絕大多數精力和財產，甚至失去劍橋大學的盧卡斯教授職位，也沒幾個人能理解他的思想。據說真正支援他的人只有三個：他的兒子——巴貝奇少將（在父親去世後還為分析機奮鬥了許多年）、未來的義大利總理和詩人拜倫（Byron，1788—1824）的女兒阿達。

阿達（Ada，1815—1852）是拜倫和妻子的獨生女，她為某些函式編制了計算程式，可謂開現代程式設計之先河。由於時代的侷限性，巴貝奇分析機的設計方案在技術實施上遇到了巨大的障礙，他藉助通用程式控制數字計算機的天才設想，要再過一個多世紀才能實現。

20 世紀以來，科學技術的迅猛發展帶來了堆積如山的資料問題，尤其是在“二戰”期間，軍事上的計算需要更使計算速度的改進成為燃眉之急。起初，人們採用電器元件來代替機械齒輪。1944年，美國哈佛大學的數學家艾肯（Aiken，1900—1973）在IBM（國際商業機器公司）的支援下設計和製造出世界上第一臺能實際操作的通用程式計算機（佔地170平方米），只部分使用了繼電器，不久後他又製成了一臺全部用繼電器的計算機。與此同時，在賓夕法尼亞大學，人們用電子管來代替繼電器，於1946年造出了第一臺通用電子數字積分計算機（ENIAC），效率提高了1000倍。

1947年，數學家馮·諾依曼（Neumann，1903—1957）提出了把ENIAC使用的外插程式改為儲存程式的想法，按照這種想法制成的計算機能按儲存器中的指令進行操作，從而大大加快了運算程式。1946年，他與人合作發表論文，提出了並行處理和儲存資料計算機的綜合設計理念，對後來的數字計算機的設計產生了深遠影響。馮·諾依曼出生在布達佩斯，屬於多才多藝的那類學者，在數學、物理學、經濟學、氣象學、爆炸理論和計算機領域都取得了卓越的成就。據說他是在火車站等車時遇見了ENIAC的設計師，後者向他討教計算機的技術問題，從而激起了他的興趣。

馮·諾依曼和他的電子計算機

英國薩里大學的圖靈銅像

另一位對計算機設計理念做出傑出貢獻的是英國數學家圖靈（Turing，1912—1954），他為了解決數理邏輯中的基本理論問題——相容性，以及數學問題的機器可計算性的判定，而提出了他的“理想計算機”模型。直到今天，數字計算機都沒有跳出這個理想模型的範疇：

輸入/輸出裝置（帶子和讀寫頭）、儲存器和控制器。

圖靈還研究過可以製造出能思考的計算機的理論，這方面的構想已成為人工智慧研究的基礎。可惜的是，圖靈後來因為不堪忍受對其性取向進行的強迫治療，吃下用氰化物溶液浸泡過的蘋果而自殺。為了紀念圖靈，1966年，英特爾公司出資設立了“圖靈獎”，這是計算機領域的最高獎項。1976年建立的蘋果電腦公司以一隻被咬了一口的蘋果作為標誌，這家以推出iPhone手機和iPad平板電腦風靡全球的公司的信念是：只有不完美才能促使進步去追求完美。

雖然數字計算機已歷經四代的發展，但從電子管、電晶體到積體電路、超大規模積體電路，均是採用二進位制撥碼開關。這一點不會改變，即使將來有一天，電子計算機被取代（比如量子計算機）。這自然與19世紀英國數學家布林（Boole，1815—1864）所創立的布林代數的符號邏輯體系分不開，他完成了兩個世紀前萊布尼茨未競的事業，即創立了一套表意符號，每一個符號代表一個簡單的概念，再通過符號的組合來表達複雜的思想。

布林出身貧寒，他的父親是一個補鞋匠，他主要通過自學成材，後來成為愛爾蘭皇后學院（現名為科克大學）的數學教授，併入選英國皇家學會。不幸的是，布林49歲那年因淋雨患肺炎去世。當年早些時候，他的小女兒出世，她便是小說《牛虻》的作者伏尼契（Voynich，1864—1960）。

作為抽象數學應用的一個光輝典範，計算機也已成為數學研究本身的有力工具和問題源泉，並推動了一個新的數學分支——計算數學的誕生。它不僅設計、改進各種數值計算方法，還研究與這些計算有關的誤差分析、收斂性和穩定性等問題。馮·諾依曼是這門學科的奠基人之一，不僅與人合作建立了全新的數值計演算法——蒙特卡羅方法，還領導一個小組利用ENIAC首次實現了數值天氣預報，後者的中心問題是求解有關的流體力學方程。值得一提的是，20世紀60年代，中國數學家馮康（1920—1993）獨立建立了一種數值分析方法——有限元法，可用於包括航空、電磁場和橋樑設計等在內的工程計算。

1976 年秋，伊利諾伊大學的兩位數學家阿佩爾（Appel，1932—2013）和哈肯（Haken，1928—）藉助電子計算機，證明了已有100多年曆史的地圖四色定理，這是利用計算機解決重大數學問題的最鼓舞人心的範例。說起地圖四色定理，這是由英國人提出的難得一見的著名猜想。1852年，剛剛在倫敦大學獲得雙學士學位的格斯里（Guthrie，1831—1899）來到一家科研單位做地圖著色工作，他發現只需用4種顏色即可填滿地圖並使得任何兩個鄰國呈現不同顏色。但是，不僅他和仍然在讀的弟弟無法證明這個猜想，就連他的老師摩根和哈密爾頓也無能為力。於是，凱萊經過一番研究後在倫敦數學學會做了一個報告，使得這個問題出了名。

地圖四色問題圖例

從那以後，數學家們更多地藉助計算機研究純粹數學，這方面突出的例子是孤立子（soliton）和混沌（chaos）的發現，它們是非線性科學的核心問題，可謂兩朵美麗的“數學物理之花”。孤立子比四色定理出現得還早，1834年，英國工程師拉塞爾（Russell，1808—1882）在馬背上跟蹤觀察運河中船隻突然停止所激起的水波，他發現它們在行進中形狀和速度沒有發生明顯的改變，於是稱其為“孤立波”。一個多世紀以後，數學家們又發現，兩個孤立波碰撞後仍是孤立波，因此被稱為“孤立子”，孤立子在光纖通訊、木星紅斑活動、神經脈衝傳導等領域大量存在。混沌理論是描述自然界不規則現象的有力工具，被視為繼相對論和量子力學之後現代物理學的又一次革命。

電腦科學的飛速發展，不僅離不開數理邏輯，也促進了與之相關的其他數學分支的變革或創立，前者的一個例子是組合學，後者的一個典型代表是模糊數學。組合學的起源可以追溯至《易經》中的“洛書”，萊布尼茨在《論組合的藝術》中率先提出了“組合”這個概念，後來數學家們從遊戲中歸納出一些新問題，如哥尼斯堡七橋問題（衍生出“圖論”這一組合數學的主要分支）、尤拉36軍官問題、柯克曼女生問題和哈密爾頓環球旅行問題等。20世紀下半葉以來，在計算機系統設計和資訊儲存、恢復中遇到的問題，為組合學研究注入了全新的強大動力。

相比古老的組合學，1965年誕生的模糊數學可以說是年輕的。按照經典集合的概念，每一個集合必須由確定的元素構成，元素之於集合的隸屬關係是明確的，這一性質可以用特徵函式μ_A(x)來表示：

模糊數學的創始人是亞塞拜然出生的伊朗裔美國數學家、電器工程師扎德（Zadeh，1921—），他把特徵函式改寫成所謂的隸屬函式μ_A(x)：0≤μ_A(x)≤1，在這裡A被稱為模糊集合，μ_A(x)為隸屬度。經典集合論要求μ_A(x)取0或1兩個值，模糊集合則突破了這一限制，μ_A(x)=1表示百分之百隸屬於A，μ_A(x)=0表示完全不屬於A，還可以有20%隸屬於A，80%隸屬於A，等等。由於人腦的思維包括精確的和模糊的兩個方面，因此模糊數學在人工智慧系統模擬人類思維的過程中起到了重要作用，它與新型的計算機設計密切相關。但是，作為一個數學分支，模糊數學尚未成熟。

曼德勃羅集圖例

一方面，計算機的每一次飛躍都離不開數學家們的工作。另一方面，計算機的進步也推進了數學研究工作。現在，我們來談談幾何學和計算機的奇妙結合。20世紀幾何學的兩次飛躍分別是從有限維到無限維（上半世紀）和從整數維到分數維（下半世紀），後者被稱為分形幾何學，它是新興的科學分支——混沌理論的數學基礎。擁有法國和美國雙重國籍、波蘭出生的數學家曼德勃羅（Mandelbrot，1924—2010）通過自相似性建立起這門全新的幾何學，這是有關斑痕、麻點、破碎、扭曲、纏繞、糾結的幾何學，它的維數居然可以不是整數。

1967 年，曼德勃羅發表了《英國的海岸線有多長？》的文章。在查閱了西班牙和葡萄牙、比利時和荷蘭的百科全書後，人們發現這些國家對於它們共同邊界的估計相差20%。事實上，無論是海岸線還是國境線，其長度取決於測量度的大小。一位試圖從人造衛星上估計海岸線長度的觀察者，相比海灣和海灘上的踏勘者，將得出較小的數值。

而後者相較爬過每一枚鵝卵石的蝸牛來，又會得出較小的結果。常識告訴我們，雖然這些估值一個比一個大，可是它們會趨近於某個特定的值，即海岸線的真正長度。但曼德勃羅卻證明了任何海岸線在一定意義上都是無限長的，因為海灣和半島會顯露出越來越小的子海灣和子半島。這就是所謂的自相似性，它是一種特殊的跨越不同尺度的對稱性，它意味著遞迴，即圖案之中套著圖案。這個概念在西方文化中由來已久，早在17世紀，萊布尼茨就設想過一滴水中包含著整個多彩的宇宙；之後，英國詩人兼畫家威廉·布萊克（Blake，1757—1827）在詩中寫道：一顆沙裡看出一個世界/一朵野花裡有一個天堂。

曼德勃羅考慮了一個簡單的函式f(x)=x²+c，其中x是復變數，c是復引數。從某個初始值x₀開始令xn+1=f(xn)，就產生了點集{x_i,i=0,1,2…}。1980年，曼德勃羅發現，對於有些引數c，迭代會在複平面的某幾點之間迴圈反覆；而對於另外一些引數c，迭代結果卻毫無規律可言。前一種引數c叫吸引子，後一種叫混沌，所有吸引子的複平面子集如今被命名為“曼德勃羅集合”。

由於複數迭代過程即便對於較為簡單的方程（動力系統）也需要海量的計算，因此分形幾何學和混沌理論的研究只有藉助高速計算機才能進行，結果也產生了許多精美奇妙的分形圖案，不僅被用來做書籍插圖，還被出版商拿去製作掛曆。在實際應用中，分形幾何學和混沌理論在描述和探索許許多多的不規則現象（如海岸線形狀、大氣運動、海洋湍流、野生生物群，乃至股票、基金價格的漲落，等等）方面，均起到十分重要的作用。

洛倫茲吸引子與“混沌蝴蝶”

就美學價值而言，新的幾何學賦予了硬科學特別的現代感，即追求野性、未開化、未馴養的天然情趣，這與20世紀70年代以來後現代主義藝術家所追逐的目標不謀而合。在曼德勃羅看來，令人滿足的藝術沒有特定的尺度，或者說它包含了一切尺寸的要素。他指出，巴黎的藝術宮殿作為摩天大樓的對立面，它的群雕和怪獸，突角和側柱，佈滿旋渦花紋的拱壁和配有簷溝齒飾的飛簷，觀察者從任何距離望去都能看到某種賞心悅目的細節。而當你走近時，它的構造又發生了變化，展現出新的結構元素。

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來源 | 數學與人工智慧

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