ACdream 1112 Alice and Bob (博弈&&素數篩選優化)

題目連結：傳送門

遊戲規則：

沒次可以將一堆分成兩堆 x = a*b （a!=1&&b!=1）x為原來堆的個數,a,b為新堆的個數。

也可以將原來的堆的個數變成原來堆的約數y，y!=x。進行最後一次操作的人獲勝。

分析：

也是一個去石頭的遊戲，因此我們只需要將所有情況的sg值異或起來就好了。

我們首先來考慮一堆。設這一堆的個數為x；

那麼所有的情況就是

（a1,x/a1）, (a2,x/a2),...,(an,x/an);或者（a1),(a2),..,(an)。

由於資料量比較大，我們樸素的找約數肯定會超時。然後仔細分析一下這個問題。因為我

們都是圍繞著約數來進行操作，那麼也就相當於在對他的素因子的個數進行操作。

x=a1^r1*a2^r2*...*an^rn;設sum = r1+r2+...+rn.

然後所有的情況就可以表示為：

（1，sum-1）,(2,sum-2),...(sum/2,sum-sum/2)或者(1),(2),...(n-1)

這樣就大大減小了資料的範圍。然後在計算sum的時候我們可以這樣計算。

設一個數為x，他的最小的素因子為y.則sum[x] = sum[x/y] + 1;

程式碼如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 5000010;

int prime[maxn],cnt;
bool isprime[maxn];
int fac_num[maxn];
int min_fac[maxn];

int sg[100];

void GetPirme(){
    cnt=0;
    memset(isprime,0,sizeof(isprime));
    memset(fac_num,-1,sizeof(fac_num));
    memset(min_fac,-1,sizeof(min_fac));
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!isprime[i]){
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<maxn;j+=i){
                isprime[j]=1;
                if(min_fac[j]==-1)
                    min_fac[j]=i;
            }
            min_fac[i]=i;
        }
    }
}

int get_num(int x){
    if(x==1) return 0;
    if(fac_num[x]!=-1) return fac_num[x];
    return fac_num[x]=get_num(x/min_fac[x])+1;
}

int Get_Sg(int x){
    if(sg[x]!=-1) return sg[x];
    bool vis[100];
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=x;i++) vis[Get_Sg(x-i)]=1;
    for(int i=1;i<=x/2;i++)
        vis[Get_Sg(i)^Get_Sg(x-i)]=1;
    for(int i=0;;i++){
        if(!vis[i]){
            return sg[x]=i;
        }
    }
}

void init(){
    GetPirme();
    memset(sg,-1,sizeof(sg));
    sg[0]=0;
}

int main()
{
    init();
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        int x ,ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",&x);
            //cout<<"num: "<<get_num(x)<<endl;
            ans^=Get_Sg(get_num(x));
        }
        if(ans) puts("Alice");
        else puts("Bob");
    }
    return 0;
}