博弈學習 （二） 斐波那契博弈

引用：http://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/7602807

有一堆個數為n的石子，遊戲雙方輪流取石子，滿足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之後每次可以取的石子數介於1到對手剛取的石子數的2倍之間（包含1和對手剛取的石子數的2倍）。

約定取走最後一個石子的人為贏家，求必敗態。

這個和之前的Wythoff’s Game 和取石子游戲 有一個很大的不同點，就是遊戲規則的動態化。之前的規則中，每次可以取的石子的策略集合是基本固定的，但是這次有規則2：一方每次可以取的石子數依賴於對手剛才取的石子數。

這個遊戲叫做Fibonacci Nim，肯定和Fibonacci數列：f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的關係。如果試驗一番之後，可以猜測：先手勝當且僅當n不是Fibonacci數。換句話說，必敗態構成Fibonacci數列。

就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”來幫忙一樣，這裡需要藉助“Zeckendorf定理”（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示為若干個不連續的Fibonacci數之和。

先看看FIB數列的必敗證明：

1、當i=2時，先手只能取1顆，顯然必敗，結論成立。

2、假設當i<=k時，結論成立。

     則當i=k+1時，f[i] = f[k]+f[k-1]。

     則我們可以把這一堆石子看成兩堆，簡稱k堆和k-1堆。

    （一定可以看成兩堆，因為假如先手第一次取的石子數大於或等於f[k-1]，則後手可以直接取完f[k]，因為f[k] < 2*f[k-1]）

     對於k-1堆，由假設可知，不論先手怎樣取，後手總能取到最後一顆。下面我們分析一下後手最後取的石子數x的情況。

     如果先手第一次取的石子數y>=f[k-1]/3，則這小堆所剩的石子數小於2y，即後手可以直接取完，此時x=f[k-1]-y，則x<=2/3*f[k-1]。

     我們來比較一下2/3*f[k-1]與1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]與3*f[k]的大小，由數學歸納法不難得出，後者大。

     所以我們得到，x<1/2*f[k]。

     即後手取完k-1堆後，先手不能一下取完k堆，所以遊戲規則沒有改變，則由假設可知，對於k堆，後手仍能取到最後一顆，所以後手必勝。

     即i=k+1時，結論依然成立。

對於不是FIB數，首先進行分解。

分解的時候，要取儘量大的Fibonacci數。

比如分解85：85在55和89之間，於是可以寫成85=55+30，然後繼續分解30,30在21和34之間，所以可以寫成30=21+9，

依此類推，最後分解成85=55+21+8+1。

則我們可以把n寫成  n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我們令先手先取完f[ap]，即最小的這一堆。由於各個f之間不連續，則a(p-1) > ap  + 1，則有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即後手只能取f[a(p-1)]這一堆，且不能一次取完。

此時後手相當於面臨這個子游戲（只有f[a(p-1)]這一堆石子，且後手先取）的必敗態，即先手一定可以取到這一堆的最後一顆石子。

同理可知，對於以後的每一堆，先手都可以取到這一堆的最後一顆石子，從而獲得遊戲的勝利。

例:HDU 2516 

明顯的FIB博弈模型

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<string>
#include<map>
#define LL long long
#define N 1000000
#define inf 1<<20
using namespace std;
int fib[50];
int main(){
	fib[0]=1;fib[1]=2;
	for(int i=2;i<45;i++)
		fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n){
		int i=0;
		for(i=0;i<45;i++)
			if(fib[i]==n)
				break;
		if(i<45)
			puts("Second win");
		else
			puts("First win");
	}
	return 0;
}