擴充套件歐幾里得的幾個定理以及證明

擴充套件歐幾里得的三個定理：

   定理一：如果d = gcd(a, b)，則必能找到正的或負的整數k和l，使d = a*x+ b*y。

   定理二：若gcd(a, b) = 1，則方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

   定理三：若gcd(a, b) = d，則方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

      證明：上述同餘方程等價於ax + by = c，如果有解，兩邊同除以d，就有a/d * x + b/d * y = c/d，即a/d * x ≡ c/d (mod b/d)，顯然gcd(a/d, b/d) = 1，所以由定理二知道x在[0, b/d - 1]上有唯一解。所以ax + by = c的x在[0, b/d - 1]上有唯一解，即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

      如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X，那麼令r = b/gcd(a, b)，可知x在[0, r-1]上有唯一解，所以用x = (X % r + r) % r就可以求出最小非負整數解x了！（X % r可能是負值，此時保持在[-(r-1), 0]內，正值則保持在[0, r-1]內。加上r就保持在[1, 2r - 1]內，所以再模一下r就在[0, r-1]內了）。