非常easy推出遞推式f[n] = f[n-1]+f[n-2]+......+f[n-k]。
構造矩陣的方法:構造一個k*k的矩陣。當中右上角的(k-1)*(k-1)的矩陣是單位矩陣,第k行的每一個數分別相應f[n-1],f[n-2],,f[n-k]的係數。然後構造一個k*1的矩陣,它的第i行代表f[i](1 <= i <= k),是經過直接遞推得到的。設ans[][]是第一個矩陣的n-k次冪乘上第二個矩陣。f[n]就是ans[k][1]。
注意:用__int64
更為一般的構造遞推式矩陣的方法是:
我們能夠用上面的方法二分求出不論什麼一個線性遞推式的第n項。其相應矩陣的構造方法為:在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩陣中的主對角線上填1。矩陣第n行填相應的係數,其他地方都填0。
比如。我們能夠用以下的矩陣乘法來二分計算f(n)
= 4f(n-1) - 3f(n-2) + 2f(n-4)的第k項:
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <stack>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-12
#define PI acos(-1.0)
#define C 240
#define S 20
using namespace std;
const int maxn = 15;
const int mod = 7777777;
int k;
struct matrix
{
_LL mat[maxn][maxn];
void init()
{
memset(mat,0,sizeof(mat));
for(int i = 1; i <= maxn; i++)
mat[i][i] = 1;
}
}a,b;
matrix mul(matrix a, matrix b)
{
matrix ans;
memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
for(int i = 1; i <= k; i++)
{
for(int g = 1; g <= k; g++)
{
if(a.mat[i][g] == 0) continue;
for(int j = 1; j <= k; j++)
{
ans.mat[i][j] = (ans.mat[i][j] + a.mat[i][g] * b.mat[g][j])%mod;
}
}
}
return ans;
}
matrix pow(matrix a, int n)
{
matrix ans;
ans.init();
while(n)
{
if(n&1)
ans = mul(ans,a);
a = mul(a,a);
n >>= 1;
}
return ans;
}
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d %d",&k,&n))
{
memset(a.mat,0,sizeof(a.mat));
for(int i = 1; i <= k-1; i++)
a.mat[i][i+1] = 1;
for(int i = 1; i <= k; i++)
a.mat[k][i] = 1;
matrix ans = pow(a,n-k);
memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));
b.mat[0][1] = 1;
for(int i = 1; i <= k; i++)
{
for(int j = 0; j < i; j++)
b.mat[i][1] += b.mat[j][1];
}
ans = mul(ans,b);
printf("%I64d\n",ans.mat[k][1]);
}
return 0;
}