陶哲軒對數學學習的一些建議

演算法與數學之美發表於2019-01-18

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圖片來自 mozzchi.org

一些老生常談的話

正如我以前說的，我沒有取得數學研究和學術成功的“祕笈”(secret formula)或者“萬金油”(one-size-fits-all prescription)。然而，我可以給出一些通用（也很顯然）的建議。

* 編者注：原文分為 25 小節，陶哲軒在他的部落格中根據學術生涯各個階段對文章進行劃分，本譯文僅為部分內容。

1. 數學不只是分數、考試和解題套路

對一個本科生來說，成績平均績點和考試很重要。而比起對概念的真正理解或者理智的、直覺的思維，考試往往更強調對技巧和理論的熟記。

然後，你進入研究生階段以後，你會發現，更高層次的數學學習 (更重要的，數學研究) 更需要你的智慧 (intellectual faculties)，而不只是記憶或者學習的能力、或者生搬硬套一些現有論證或示例。這往往使得一個人放棄 (至少修正) 很多本科學習習慣。為了提高自己的理解更需要自我激勵地學習和試驗，而不是盯著一些人為基準比如考試。另外，由於本科階段主要是教授幾十年甚至幾個世紀前就已發展起來的成熟的優美的理論，研究生階段你將遇到更尖端的(也更有趣的)“活生生的”內容。

2. 數學不只是嚴密和證明

學校剛教授本科生數學時往往用一種直觀的，不是很正式的方法 (比如用斜率和麵積來表述導數和積分)，再然後被告知要用更精確和正式的方法 (比如用epsilon 和 delta 描述導數) 來解決和思考問題。

知道怎麼樣嚴格地進行推理當然很重要，因為這可以讓你避免某些常見錯誤、排除一些錯覺。不幸的是，這也把一些“模糊式（fuzzier）”和直覺式（intuitive）思考能得到的那種意料之外的結果因為“不嚴格”而拋棄了。通常，如果一個人把天生的直覺給拋棄了，那也只能做一些常規的數學了。

嚴密，不是說把直覺都扔掉，而是用來把那些錯誤的直覺剃掉，提取和保留正確的直覺。只有把嚴格的形式和直覺結合起來，才能解決複雜的數學問題：前者用來正確地解決一些細節問題，後者用來把握整體。缺少其中任何一個都會讓你在黑暗中摸索很久（雖然這也許也行得通，但效率很低）。所以在你熟悉嚴密的數學思考方式後，你應該重新發揮你的直覺，並運用你新掌握的思考技巧來檢查和提煉這些直覺而不是拋棄他們。要達到的理想的狀態是每次探索式的論證都能自然而然地匯出嚴格的論證，反之亦然。

3. 努力（Work hard）

事到臨頭，依靠聰明臨門一腳或許能成功一時，但通常在研究生或更高的層次學術研究中，這樣做往往不行。學習數學的任何領域都需要進行一定量的閱讀和寫作，而不只是思考。與公眾通常認為的相反，數學上的突破並不是只依靠（或主要依靠）天才們的“我發現了”（Eureka），而是由經驗和直覺來指引的大量艱苦的工作來推進的。（參考對天才的崇拜）。

所謂魔鬼常在細節之中（The devil is often in the details）：如果你覺得自己理解了數學的某個小分支（a piece of mathematics），你應該能在閱讀相關文獻之後，撰寫一份關於其如何推理，如何運作（goes）的總結（sketch）來進行“備份（back up）”，並最終寫出關於這個主題的完整且詳細的論述（treatment）。

如果一個人可以只負責提出巨集大的想法（grand idea），讓其他“小人物（lesser mortals）”來處理細節，那就真是太好了。但相信我，數學領域根本不是那樣。過往經驗說明：只有那些已經有充足的細節和證據（至少有個概念性驗證）周密地支撐起巨集大想法的論文，才值得讓一個人付出時間與精力。如果連想法的發起人都不願做這些，那就沒人願意了。

4. 享受(enjoy)你的工作

某種意義上這是前面的推論。

如果你不享受自己正在做的事情，就很難長期保持活力去取得成功。最好是從事那些你喜歡的數學領域，而不只是趕時髦。

5. 不要基於出名和魅力作職業決策

僅僅因為魅力（glamour）進入某個領域或者院系不是個好主意。

僅僅因為有名而緊盯著一個領域最有名的問題（或數學家）也不好。

數學裡沒有那麼多名聲和魅力，把這些當做你的主要目標來追求也不值得。任何迷人的問題的競爭都十分激烈。只有那些基礎紮實的人（尤其是在那些不那麼有名的方面有豐富經驗的人）才更有可能到達任何地方（are likely to get anywhere）。

一個未解決的有名的難題常常經年累月得不到解決，如果一個人在開始的時候花功夫去解決那些簡單的（也不那麼有名的）模式問題（model problems），獲取技巧（acquiring techniques），直覺，部分結果，內容和文獻，便能夠在有機會解決實際中的大問題之前積累富有成效的解決問題的方法，並剔除那些徒勞無功的手法。

偶爾情況下，某個大問題相對輕易地被解決了，僅僅是因為那些擁有的正確工具的人沒有機會看到這個問題，但對於那些被深入研究的問題，這種情況很少發生，尤其是那些已經因為發現很多行不通的定理（”no go” theorems）和反例而導致整個解決方案被排除了的問題。

因為類似的原因，不應該為了獲獎和出名而追求數學；長遠來看，僅僅衝著為了做出好的數學和為你的領域做出貢獻是一個較好的策略，獲獎和出名自然水到渠成。

6. 學習、再學習

幹了這行，就永遠不要停下學習的腳步，即使在你的專長上。比如，我堅持學習關於基本調和分析 (harmonic analysis) 的一些令人驚歎的內容已有10年了，雖然我在這方面已經寫了一些論文。

你不應該因為僅僅知道某個命題和某個基本引理的證明就以為那個引理來得理所當然——

以上問題哪怕純粹是給自己用，在做講座或者寫講義或者其他說明材料時它們都很有用。從而最終，你可以利用有效的腦力速記吸收哪怕是一些非常難的東西，不僅讓你更有效地使用它們，而且還騰出更多的大腦空間來學習更多的東西。

7. 不要畏懼學習領域之外的東西

在社會上，對數學恐懼很普遍。不幸的是，在職業數學家中有時也存在這種現象。如果為了在你研究的問題上取得進展而不得不學習一些額外的數學知識，這是個好事——你的知識範圍將會擴大，你的工作將更有趣，無論是對你的研究領域中的人還是那個其他領域的人。

如果某個領域很活躍，那就值得研究為什麼它這麼有趣，人們都在試圖解決哪種問題，有哪些比較酷或者驚奇的洞見和結果。這樣的話，如果你在工作中遇到一個類似問題、障礙或者現象，你就知道該去哪找解決方法了。

8. 瞭解你所使用的工具的侷限

數學教育（和研究論文）都聚焦於能起作用的方法（當然這也很自然）。但知道工具的侷限性也同樣重要。

這樣就不會在一個起初就註定廢掉的策略上浪費時間，而是去尋找新的工具解決問題（或者去解決其他問題）。因此，知道一些反例或者容易分析的模型和知道你所用工具能解決和不能解決的問題是同等重要的。

另外，知道某工具在哪些情況下為其他方法所替代，以及各種方法的利弊也是很有價值的。如果沒有其他方法獲得或者理解答案時，某個神祕地解決問題的工具被視為魔棒，這時就需要你更好的去理解該工具。

9. 學習其他數學家所用的工具

這條是前面論述的推論。當聽他人談話或者閱讀論文時，你會發現自己感興趣的問題被不熟悉的工具解決，而這種工具似乎不在你自己的“錦囊”（bag of tricks）裡。

遇到這種情況時，你應當看看自己的工具是否能完成類似的任務。你也應該看看為什麼其他工具如此有效。比如，找到那種工具發揮奇特作用的最簡單的模型。

一旦你很好地比較了新工具和老工具各自的利弊，將來遇到這些工具可能派得上用場的情況你就能想起來。經過足夠多的練習，你就能永久地將那個技能點加入到自己的技能樹裡。

10. 默默地問自己，然後回答

當你學習數學時，不管是看書還是聽課，通常你只看到最終結果——非常完美，高明和優雅。然後數學發現的過程卻往往非常混亂，很多嘗試很幼稚、沒有成果或者瞭然無趣。

儘管忽略掉這些“失敗”的追究的做法是誘人的，但事實上，他們往往對於更深入理解某個主題是必要的，通過不斷地排除，我們最終通往成功之路。所以不應該害怕問“笨”問題，要勇於挑戰傳統智慧（conventional wisdom）。對這些問題的答案偶爾能得出令人驚訝的結論，但更多的時候是告訴你為什麼傳統智慧起先在那，而這是很值得知道的。

例如，給一個標準引理，你可以問如果刪掉一個假設，會發生什麼；又或者試圖加強結論。如果一個簡單的結果通常用方法 X 證明，可以想想能不能用方法 Y 證明。新的證明方法或許不像原來方法那麼優雅，或許根本就行不通，但不管怎麼樣，都是試圖弄清方法X和Y的相對威力。這在證明不那麼標準的引理時是很有用的。

11. 質疑自己的工作

如果你意外地發現自己幾乎不費吹灰之力地解決一個問題，也不太明白為什麼，你應該帶著懷疑的眼光重新審視你的解決方法，特別是你所用的方法可能能證明更強，卻早已知曉是錯誤的結論。而這就意味著你所用的方法有瑕疵。

同理，如果你試圖證明一些野心勃勃的斷言，應該先試試找反例。一旦找到一個，就節省了很多時間。或者你遇到一些困難，而這應該能給出一些證明的線索——告訴你一些為了證明出結論必須消滅的“敵人”。事實上，把這種懷疑論用於數學家的斷言（claim）也不是個壞想法。

如果啥都沒找到，也能讓你理解為何那個斷言是正確的，以及它到底有多強（how powerful it is ）。

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編輯 ∑ Gemini

譯文轉載自 CSDN

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