資料庫 - 關係代數與關係運算

概述
傳統的集合運算 （並，差，交，笛卡爾積）
專門的關係運算

並（Union）

R和S
具有相同的目n（即兩個關係都有n個屬性）
相應的屬性取自同一個域

R∪S 
仍為n目關係，由屬於R或屬於S的元組組成
             R∪S = { t|t  R∨t S }

差（Difference）

R和S
具有相同的目n
相應的屬性取自同一個域

R - S 
仍為n目關係，由屬於R而不屬於S的所有元組組成
                R -S = { t|tR∧tS }

交（Intersection）

R和S
具有相同的目n
相應的屬性取自同一個域

R∩S
仍為n目關係，由既屬於R又屬於S的元組組成
                    R∩S = { t|t  R∧t S }
              R∩S = R –(R-S）

笛卡爾積（Cartesian Product）

R: n目關係，k1個元組
S: m目關係，k2個元組
R×S 
列：（n+m）列元組的集合
元組的前n列是關係R的一個元組
後m列是關係S的一個元組
行：k1×k2個元組
R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }

專門的關係運算

先引入幾個記號

（1） R，tR，t[Ai]
         設關係模式為R(A1，A2，…，An)
         它的一個關係設為R
          tR表示t是R的一個元組
          t[Ai]則表示元組t中相應於屬性Ai的一個分量 

（2） A，t[A]， A
   若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，則A稱為屬性列或屬性組。
   t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元組t在屬性列A上諸分量的集合。
   A則表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}後剩餘的屬性組。 

（3） tr ts
    R為n目關係，S為m目關係。
    tr R，tsS， tr ts稱為元組的連線。
    tr ts是一個n + m列的元組，前n個分量為R中的一個n元組，後m個分量為S中的一個m元組。 

（4）象集Zx
  給定一個關係R（X，Z），X和Z為屬性組。
  當t[X]=x時，x在R中的象集（Images Set）為：
               Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
    它表示R中屬性組X上值為x的諸元組在Z上分量的集合 

連線

1）連線也稱為θ連線
2）連線運算的含義
從兩個關係的笛卡爾積中選取屬性間滿足一定條件的元組
     R         S = {          | tr  R∧ts S∧tr[A]θts[B] }

A和B：分別為R和S上度數相等且可比的屬性組
θ：比較運算子 
    連線運算從R和S的廣義笛卡爾積R×S中選取（R關係）在A屬性組上的值與（S關係）在B屬性組上值滿足比較關係θ的元組 

3）兩類常用連線運算
等值連線（equijoin） 
什麼是等值連線
θ為“＝”的連線運算稱為等值連線 
等值連線的含義
從關係R與S的廣義笛卡爾積中選取A、B屬性值相等的那些元組，即等值連線為：
        R    S = {          | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] }  

自然連線（Natural join） 
自然連線是一種特殊的等值連線
兩個關係中進行比較的分量必須是相同的屬性組（同名同域:必須具有相同的屬性名，並且出自相同的域集）
在結果中把重複的屬性列去掉
自然連線的含義
    R和S具有相同的屬性組B
        R   S = {         | tr R∧ts S∧tr[B] = ts[B] }  
一般的連線操作是從行的角度進行運算。
        自然連線還需要取消重複列，所以是同時從行和列的角度進行運算。 

外連線
在做自然連線時，如果把捨棄的元組也儲存在結果關係中，而在其他屬性上填空值(Null)，這種連線就叫做外連線（OUTER JOIN）。
左外連線
在做自然連線時，如果只把左邊關係R中要捨棄的元組保留就叫做左外連線(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)
右外連線
在做自然連線時，如果只把右邊關係S中要捨棄的元組保留就叫做右外連線(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)。 

除（Division）

給定關係R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z為屬性組。
R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集。
R與S的除運算得到一個新的關係P(X)，
P是R中滿足下列條件的元組在 X 屬性列上的投影：
元組在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，記作：
       R÷S = {tr [X] | tr  R∧πY (S)  Yx }
       Yx：x在R中的象集，x = tr[X]

在關係R中，A可以取四個值{a1，a2，a3，a4}
    a1的象集為 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
    a2的象集為 {(b3，c7)，(b2，c3)}
    a3的象集為 {(b4，c6)}
    a4的象集為 {(b6，c6)}
S在(B，C)上的投影為
           {(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
只有a1的象集包含了S在(B，C)屬性組上的投影
     所以     R÷S ={a1}