30歲就被學界“內定”:這位天才有望統一代數與幾何

演算法與數學之美發表於2018-09-28

代數和幾何不僅折磨著無數的中小學甚至大學生,它們之間撲朔迷離的關係也是上千年來數學家們的煩惱,很多著名的猜想至今仍懸而未決。看似毫不相關的兩個數學分支,到底能否鵲橋相見呢?全世界的目光聚焦到了一位年輕的天才數學家身上,迷霧在輾轉反側中漸漸散開……

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當小明的年齡是小紅的兩倍時,他正好跟小剛同年,那麼當小剛的年齡是小明現在的兩倍時,小紅會是現在的自己年齡的幾倍?

或者試試這個問題:兩名農場主同時繼承了一塊正方形土地,其中包含了一片圓形耕地。在不知道土地和耕地具體尺寸,或者不知道圓形耕地具體位置的前提下,如何用一條直線將兩者精確地一分為二?

看到這裡,你可能已經捏了把冷汗,也可能拿出紙筆開始計算(等不及的話可以拉到文章末尾看答案)。這兩個問題都能算作“數學”問題,但它們又明顯不同。第一個是算術學問題,涉及的是從1、2、3一直往下數這樣的數的性質。算術學關心的是獨立事物之間的數量問題,而不是它們的形狀或行為表現。另一個則是幾何學問題,一門基於連續性思想的學科:例如線、面和其他可測量的幾何物件的連續性,以及它們之間的空間關係。

長久以來,數學家都試圖在這兩門古老學科之間架起橋樑,想要構建某種大統一理論。就在最近,一位年輕有為的數學家讓這兩門學科的距離縮小到前所未有。他前衛革新的幾何見解不僅有望統一數學的不同分支,還可能有助於解決數論領域中最深奧的問題之一:素數之謎。數學界最高獎項菲爾茲獎(the Fields medals)頒發在即,斬獲獎章對這位年輕人來說如同囊中取物。

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菲爾茲獎獎牌 圖片來源:fields.utoronto.ca

古希臘哲學家、數學家亞里士多德(Aristotle)曾寫道:我們不能通過算術去證明幾何問題。他認為幾何能幫助解決算數問題也是無稽之談。在當時,這個觀點並無爭議,卻躲不過歷史風霜的考驗。與亞里士多德幾乎同一時期的幾何之父歐幾里得(Euclid),沒有依賴數字,而是用作圖的方法將邏輯公理擴充套件到證明中。數字彷彿立於另一個時空,幾何技巧求路無門。

這一狀況持續到了 17 世紀,直到法國人勒內·笛卡爾(René Descartes)將代數技巧(解方程及活用抽象符號)與歐氏幾何結合,破開了數字與幾何間的堅冰。笛卡爾引入了座標系的概念,即點、線、面能用座標數值完美描述,讓幾何學家能夠用代數方法求解幾何問題。

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笛卡爾座標系,用到了他發明的x軸y軸 圖片來源:wikipedia.org

這就像登陸月球的時候,我們終於能夠以準確的角度和位置的將火箭發射出去。但對於純數學家而言,距離終點還有一半的征程。比方說,一個圓可以用代數方程精確描述,可是根據方程的解描點作圖得到的圖形,永遠都不得全貌。一旦改變座標的單位系統(例如從 1 變成 π),就像純數學家常做的那樣,方程仍然成立,而繪圖讓人手足無措。

時間推移到 1940 年,另一個法國人安德烈·韋伊(André Weil)深受數字和幾何間鴻溝的折磨。 在德軍佔領法國前的幾個月,韋伊因為拒服兵役而被拘禁於法國魯昂外的一所監獄中。福兮禍兮,監獄中的日子讓反讓他收穫頗豐。在一封給妻子的信裡,他寫到:“如果只有在監獄中我才能更好地工作,可能每年都被關上兩三個月才是我的最佳選擇。”

韋伊渴望找到代數與幾何間的“羅塞塔石碑”(Rosette stone,製作於公元前 196 年,用希臘文字、古埃及文字和當時的通俗體文字,刻記了古埃及國王托勒密五世登基的詔書,刻文被用來作為語言翻譯用途),將一個領域內的真理轉譯到另一個領域。越過重重困難,韋伊發現了零星的線索。

這就涉及到了黎曼猜想(Riemann Hypothesis),一個人盡皆知的素數分佈問題。人們早就覺得這個猜想應該有對應的幾何解釋。上世紀 30 年代,橢圓曲線已經得到代數證明。“與其弄清楚素數的分佈,你可以轉化為思考曲線上到底有多少個點。”來自倫敦帝國理工學院(Imperial College London)的數學家安娜•卡拉亞尼(Ana Caraiani)解釋道。

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韋伊證明了黎曼猜想同樣適用於解更復雜的曲線,自古希臘時代就聳立在這兩門學科之間的高牆,似乎終於要開始瓦解。紐約哥倫比亞大學(Columbia University)的邁克爾•哈里斯(Michael Harris)說:“韋伊的證明為代數幾何學科建立了良好的基礎,一舉推翻亞里士多德當時的觀點。


百萬美元猜想

素數是在大於 1 的自然數中,除了 1 和自身外,無法被其他自然數整除的數。素數的數量無窮無盡,在實數軸上的分佈似乎也毫無規律可言。 但在 1859 年,波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)提出黎曼猜想,預測素數出現的頻率與簡單的黎曼 ζ 函式緊密相關。

直到現在,黎曼猜想已經在前十萬億個素數上得到了證實,但仍未出現一個嚴格的證明。 為了突出這個問題的重要性,2000 年的時候,新罕布什爾州的克萊數學研究所(Clay Mathematics Institute)將其列為七大千年數學難題之一,並第一個得出正確證明的人設立了 $1,000,000 美元的獎金。

戰後年代,身處環境更舒適的芝加哥大學(University of Chicago),韋伊依然嘗試努力解決這一素數謎題,但始終沒有成功。隨後,接力棒傳到了亞歷山大•格羅滕迪克(Alexander Grothendieck)手上, 他是二十世紀最頂尖的數學家之一,在上世紀 60 年代重新定義了代數幾何學。

在一系列的學術創新之中,格羅滕迪克將一組整數稱為“譜”,簡記為 Spec(Z)。這個不可繪製的幾何實體上的點與素數密切相關。如果你能弄清它的整體形狀,或許就能洞悉素數的分佈。如此這般,你便能建立一個橫跨代數和幾何的橋樑,直通黎曼猜想。

格羅滕迪克所尋求的 Spec(Z) 圖形,完全不同於我們熟悉的任何幾何物件,比如歐氏幾何的圓形三角形,或是笛卡爾座標系中的拋物線橢圓。 在這些平面上,一個點僅僅只是表面上的一個點,哈里斯說:“但是格羅滕迪克的點更像是從整個面的角度出發思考。”它涵蓋了一個面的所有可能情況,比如在上面畫一個三角形或者橢圓,或是甚至將其捲曲起來,好像包裹在一個球上。

如果上面的敘述已經讓你雲裡霧裡了,那再正常不過啦。即便是格羅滕迪克本人都沒有試圖去理解 Spec(Z) 的幾何形狀,更不要說去解決黎曼猜想。這時彼得•舒爾茨(Peter Scholze)登場了。


莫名其妙卻前景光明

1987 年,舒爾茨出生在當時東德的德累斯頓,現年 30 歲,是波恩大學的教授。 他在自己的博士論文中壘起了構築代數和幾何間橋樑的第一塊磚,成果發表於 2012 年,那時的他年僅 24 歲。文章中他大幅度地擴充了格羅滕迪克的幾何思想,稱之為狀似完備幾何學(perfectoid geometry)。他的研究建立在 p 進數(p-adics)的基礎上,和素數緊密相連。這個理論的關鍵是:在舒爾茨的狀似完備幾何學中,一個質數能夠由與之相關的一個 p進數來表示,類似於方程中的變數,由此,幾何方法得以應用到代數領域中。

我已經很難再做更多的解釋了。如哈里斯所言,舒爾茨的創新可以算作是“代數幾何中最深奧難懂的概念之一”,這門學科一向有著各種概念的晦澀艱深的特性,大多數活躍的數學家也都常感不知所云。

儘管如此,在過去的幾年中,舒爾茨和幾位領域中的開創者已經使用這個方法,解決了代數幾何中許多的難題,收穫了極大的讚譽。他的合作伙伴卡拉亞尼說:“對一名數學家而言,舒爾茨真的是非常獨特。能和他在同一領域工作我感到十分興奮。

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30歲的彼得•舒爾茨,今年菲爾茲獎的眾望所歸 圖片來源:Alamy Stock Photo

今年 8 月,全球的數學家將聚集在巴西里約熱內盧,參加每四年舉辦一次的數學界盛宴。這場盛會最受人矚目的就是菲爾茲獎,每次都會有四名 40 歲以下的數學家被授予這最高殊榮,而這一次,有一個人成為了眾望所歸。牛津大學(University of Oxford)的馬庫斯·杜·索托伊(Marcus du Sautoy)評論道:“假如彼得與今年菲爾茲獎失之交臂,我覺得唯一原因大概就是委員會覺得他太年輕了,還能再等個四年。”

各方面前景都一片光明,這讓 Spec(Z) 和黎曼猜想的懸而未決看起來只能靠邊站了。但是,考慮到格羅滕迪克革新的幾何學,舒爾茨的新方法能夠讓他進一步研究其中的奧祕,就好像你在顯微鏡下檢驗 Spec(Z) 曲線上素數 p 所對應的點。當然了,要理解整個曲線或者證明黎曼猜想仍然道阻且長, 而他的工作給數學家們帶來了希望:這個看似遙不可及的目標可能終將實現。“而這本身就是一個巨大的突破。”卡拉亞尼說道。

除此之外,這讓代數與幾何間的橋樑有了向不同方向構建的可能。半個世紀的前的 1967 年,當時 30 歲的普林斯頓數學家羅伯特·郎蘭茲(Robert Langlands)試探性地給韋伊寫了一封信,概述了一個巨集偉的藍圖。“如果你願意將其解讀為純粹的猜測,我會感激不盡,” 他寫道,“或者你手邊應該有個廢紙簍。”

朗蘭茲在他的信中提出,數學上兩個差之千里的分支,數論(Number theory)和調和分析(Harmonic analysis)可能是相關的。信中包含的思想種子萌生成了朗蘭茲綱領(Langlands program),一系列影響深遠的數學猜想,也被一些數學家稱為大統一理論,能夠統一數學中三個核心學科:算術、幾何和數學分析。其中數學分析是一門範圍及其寬廣的學科,包括了我們在學校中學習的微積分。包括舒爾茨在內的全球數百位數學家,都致力於完善這門學科。

朗蘭茲猜想的完整版並不像黎曼猜想那樣,可能很快就能被證明出來,但這個思想寶庫中蘊含了很多驚人發現:就像費馬大定理(Fermat‘s last theorem),在提出後過了 350 年,才在 1994 年被英國數學家安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)證明,而這只是朗蘭茲猜想中的一個特殊結果。最近,法國數學家洛朗•法爾格(Laurent Fargues)提出了一個新方法,以舒爾茨的研究為基礎來理解朗蘭茲綱領中與 p 進數有關的部分。有傳言稱,部分結果可能會展示在里約熱內盧的盛會上。

今年 3 月,朗蘭茲獲得了另一個重量級數學獎,阿貝爾獎(Abel prize),以表彰他畢生的成就。“漫長的等待之後,朗蘭茲思想的重要性才得到了認可,”卡拉亞尼說,“這個大獎未免來得有些遲了。”舒爾茨這次似乎不用等那麼久。


P進數:數論領域的新寵兒

幾何和代數大統一研究的最新核心就是 p 進數,即任意給定的素數 p 的替代表示。從一個任意正整數建立出一個 p 進數,就要將這個整數表示成 p 進位制的數,然後再反向表達。比如要把整數 20 表示成 2 進數的形式,你就先寫出 20 的二進位制表達 10100,然後再倒序來寫,就是 00101。同樣的,20 的 3 進數是 202,4 進數是 011。

p 進數的特點也會稍有不同,其中最明顯的是數的“距離”問題:若兩個數之差能夠被 p 的多次冪整除,那麼這兩個數距離就“接近”,冪次越高,距離越近。例如,11 和 36 的 5 進數就很近,因為它們的差是 52。但 10 和 11 的 5 進數就相隔甚遠。

在 p 進數發明後的幾十年內,人們都只是將它當作“數學玩具”,覺得沒有什麼實際用處。直至上世紀 20 年代,德國數學家赫爾穆特·哈賽(Helmut Hasse)在二手書店裡的某本小冊子上看見之後,為其著迷不已。他意識到 p 進數指引瞭如何處理素數不可被其他數整除的特性,變成了解決複雜證明的一條捷徑。

自此以後,p 進數就逐漸成為數論領域中的核心部分。懷爾斯在證明費馬大定理的時候,幾乎每一步都涉及了 p 進數的概念。

答案:小紅會是她現在年齡的3倍;將土地和耕地的中心連線即可

END

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