【通俗向】方差分析--幾種常見的方差分析
上一篇文章說了方差和t檢驗的差異，這篇說說幾種實用的方差分析方法和R語言實現。
一般情況下，基本的方差分析模型包含以下三類，三類下面會根據具體情況再進行細分，主要的三類為一元方差分析，協方差分析，多元方差分析。
1、一元方差分析
一元方差分為單因素、多因素兩類（協方差單獨分類），既然方差是檢驗各組差異的，那麼從一個最簡單的例子入手，探尋各類方差分析的適用條件和特點。
OK，正題開始，鑑於自己也算是酷愛籃球，就舉個籃球運動員的例子吧，以下資料純屬瞎編，如有雷同純屬巧合。
有一天，詹姆斯和科比遇見了，鑑於科比已經退役，詹姆斯說老科，我們比投籃吧，看看是你厲害還是我厲害。科比一聽這話頓時來了精神，就在我家球場，放學別走。
詹姆斯說，我的投籃命中率應該比你高，但是為了避免你蒙進去的多，我們比試5組，每一組投10次，看誰進的多，科比：Deal！
下面是相關程式碼
name<-c(rep('Kobe',5),rep('James',5))
good<-c(5,4,6,5,7,7,5,6,4,8)
a<-data.frame(name,good)
fit1<-aov(good~name,a)
summary(fit1)其中建立了一個資料框：a，也就是兩個人的投籃比較：
name good
1 Kobe 5
2 Kobe 4
3 Kobe 6
4 Kobe 5
5 Kobe 7
6 James 7
7 James 5
8 James 6
9 James 4
10 James 8結果如下：
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
name 1 0.9 0.9 0.474 0.511
Residuals 8 15.2 1.9 可以看到，p=0.511，也就是說，二者的投籃沒有顯著差異（同樣可以使用t檢驗）。
這時候，喬丹老流氓來了，看到他們在比投籃，說，要不我也參與下，好久沒活動了。
隨著老流氓的連續空心，科比和詹姆斯馬上就要報警了，最後看看三人的命中數：
b<-rbind(a,data.frame(name=rep('jordan',5),good=c(10,9,10,10,10)))即
name good
1 Kobe 5
2 Kobe 4
3 Kobe 6
4 Kobe 5
5 Kobe 7
6 James 7
7 James 5
8 James 6
9 James 4
10 James 8
11 jordan 10
12 jordan 9
13 jordan 10
14 jordan 10
15 jordan 10接下來就做一個t檢驗做不了的事情：兩組以上的方差分析：
fit2<-aov(good~name,b)
summary(fit2)結果是：
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
name 2 56.93 28.467 21.35 0.000111 ***
Residuals 12 16.00 1.333
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1我們看到P值是0.000111，也就是超級顯著了，但是我們知道三者有顯著差別，但是誰和誰有顯著差別暫時還不知道（雖然能猜到，但還是裝不知道），這時候需要藉助Tukey或Duncan方法進行檢驗下，這裡先使用Tukey方法檢測：
TukeyHSD(fit2)結果為
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = good ~ name, data = b)
$name
diff lwr upr p adj
Kobe-James -0.6 -2.548332 1.348332 0.6973146
jordan-James 3.8 1.851668 5.748332 0.0005973
jordan-Kobe 4.4 2.451668 6.348332 0.0001637可以看到，Kobe和James沒有差異，喬老爺子和兩個人都有差異，但是和Kobe差異最大，這個用圖形表示就是
plot(TukeyHSD(fit2))
圖形中縱軸是均值的差異，包含0說明差異不明顯，不包含0說明差異明顯，可以看到喬丹的均值比詹姆斯和科比都大很多。
那麼這個結果說明了喬丹比科比和詹姆斯投籃準，最後還需要進行正態性假設，因為我們需要知道這5組投籃是隨機從他們職業生涯的千千萬萬個投籃中抽取的，這裡需要檢測下殘差是否符合正態分佈。
到這裡說的有點遠，因為殘差需要進行線性擬合，但是有三個因素性變數，但是我不能把名字作為橫軸吧，那麼喬丹=？科比=？，一般在這種情況下處理就是兩兩比較，比如把詹姆斯的投籃命中作為因變數，喬丹作為自變數1，科比作為自變數2，那麼其實捨棄了科比和喬丹的比較，比如載入car包中，看具體的因子編碼：
library(car)
contrasts(b$name)結果：
Kobe jordan
James 0 0
Kobe 1 0
jordan 0 1可以看到james都是0，也就是因變數，然後Kobe是1，然後喬丹是1，也就是先拿科比作為1，然後保持科比不變，拿喬丹作為1，看和詹姆斯命中的影響，既然看殘差符合正態分佈，所以可以通過兩個方式看qq圖或正態性檢測，先看第一個qqplot：
fit2.1<-lm(good~name,b)
summary(fit2.1)
qqPlot(fit2.1)先看看fit2.1的情況：
Call:
lm(formula = good ~ name, data = b)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-2.0 -0.6 0.2 0.4 2.0
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 6.0000 0.5164 11.619 6.92e-08 ***
nameKobe -0.6000 0.7303 -0.822 0.427336
namejordan 3.8000 0.7303 5.203 0.000221 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 1.155 on 12 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7806, Adjusted R-squared: 0.7441
F-statistic: 21.35 on 2 and 12 DF, p-value: 0.0001115可以看到，namejordan那一列的p值是0.000221，說明保持科比不變的前提下二者有顯著性差異，但是反而科比和詹姆斯沒啥差異（p=0.427336）。然後看看qq圖：
所有殘差都在兩個紅虛線，95%置信區間內，如果不放心，我們再用第二種正態檢測下，並畫出圖看看。
shapiro.test(rstudent(fit2.1))
第一個就是shapiro正態性檢測，結果為
Shapiro-Wilk normality test
data: rstudent(fit2.1)
W = 0.97576, p-value = 0.9323
看到，有0.9323的概率是正態分佈。然後看密度圖：
plot(density(rstudent(fit2.1)))
比較符合正態分佈。
本來想只說說單因素方差分析的，結果說了這麼多。
下面繼續剛才的話題，剛才喬丹加入了，我們看到三個人的投籃命中數：
name good
1 Kobe 5
2 Kobe 4
3 Kobe 6
4 Kobe 5
5 Kobe 7
6 James 7
7 James 5
8 James 6
9 James 4
10 James 8
11 jordan 10
12 jordan 9
13 jordan 10
14 jordan 10
15 jordan 10到現在為止，都是單因素方差分析，下面看看雙因素分析；
詹姆斯和科比在看了這篇文章之後，覺得老流氓簡直太厲害了，但是詹姆斯不服科比，我應該比你投籃準，但是因為這是你家後院，你家後院籃球場場地不好太晃眼，我們三個在每個人家的籃球場比比怎麼樣？
老流氓自然無所謂，科比倒是也覺得這樣公平，那麼把三個場地的每個人的投籃命中個數都統計下：
b1<-c(5,4,3,7,5,8,8,9,7,8,9,9,9,7,8)
b2<-c(6,6,7,6,7,8,7,6,7,8,9,10,10,8,9)
c<-cbind(b,b1,b2)
colnames(c)<-c('name','count.J','count.K','count.j')
library(reshape2)
d<-melt(c,variable_name = 'count')d資料框就是整形好的資料：
name count value
1 Kobe count.J 5
2 Kobe count.J 4
3 Kobe count.J 6
4 Kobe count.J 5
5 Kobe count.J 7
6 James count.J 7
7 James count.J 5
8 James count.J 6
9 James count.J 4
10 James count.J 8
11 jordan count.J 10
12 jordan count.J 9
13 jordan count.J 10
14 jordan count.J 10
15 jordan count.J 10
16 Kobe count.K 5
17 Kobe count.K 4
18 Kobe count.K 3
19 Kobe count.K 7
20 Kobe count.K 5
21 James count.K 8
22 James count.K 8
23 James count.K 9
24 James count.K 7
25 James count.K 8
26 jordan count.K 9
27 jordan count.K 9
28 jordan count.K 9
29 jordan count.K 7
30 jordan count.K 8
31 Kobe count.j 6
32 Kobe count.j 6
33 Kobe count.j 7
34 Kobe count.j 6
35 Kobe count.j 7
36 James count.j 8
37 James count.j 7
38 James count.j 6
39 James count.j 7
40 James count.j 8
41 jordan count.j 9
42 jordan count.j 10
43 jordan count.j 10
44 jordan count.j 8
45 jordan count.j 9count為場地
那麼我們看到三個人在三塊自己的主場上作戰，在這裡需要針對實際情況進行分析，在現有的情況下，我們看的是每個人在每塊場地的投籃命中，也就是投籃命中和場地和人都有關係，所以應該看的是兩個因素的互動項，也就是變數乘積：
fit3<-aov(value~name*count,data=d)
summary(fit3)看到fit3結果是
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
name 2 97.91 48.96 47.891 7.18e-11 ***
count 2 2.84 1.42 1.391 0.26181
name:count 4 18.76 4.69 4.587 0.00427 **
Residuals 36 36.80 1.02
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1不同姓名間的投籃命中確實有差別，同時，在不同場地的不同人之間也有顯著差別，那麼跟第一個分析一樣，差別在哪裡呢？
這裡用HH包的互動圖說明下：
library(HH)
interaction2wt(value~name*count,data=d)圖形如下：
先看左上圖，橫軸是三個人，縱軸是命中數量，顏色是三塊場地，從這個圖上看，交錯比較明顯，所以不同場地對所有人來說，差異不是很明顯；和summary中的count p值為0.26相符；
看左下，橫縱不變，顏色為三個人，可以明顯看出，不管在那個場地，Jordan命中都比其他兩人高；
看右上，橫軸為三個場地，場地和命中差異不明顯；
看右下，在任何的場地上，James表現比科比好，而在KOBE主場，這個差異最明顯。
下面，看另一種情況，在前面我們假設的是場地和投籃命中有互動關係，那麼如果三個人住在一起，在每個不同場地投籃的心態都一樣，那麼二者沒有互動，我們的方差分析只看兩個條件的差異：場地的差異和球員的差異：
fit4<-aov(value~name+count,data=d)
summary(fit4)結果：
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
name 2 97.91 48.96 35.248 1.49e-09 ***
count 2 2.84 1.42 1.024 0.368
Residuals 40 55.56 1.39
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1看到就是姓名之間命中率有差異，而場地之間無差異；
這次利用duncan.test進行不同姓名間比對：
duncan.test(fit4,'name',console=T)結果為
Study: fit4 ~ "name"
Duncan's new multiple range test
for value
Mean Square Error: 1.388889
name, means
value std r Min Max
James 7.066667 1.3345233 15 4 9
jordan 9.133333 0.9154754 15 7 10
Kobe 5.533333 1.2459458 15 3 7
alpha: 0.05 ; Df Error: 40
Critical Range
2 3
0.8697324 0.9144844
Means with the same letter are not significantly different.
Groups, Treatments and means
a jordan 9.133
b James 7.067
c Kobe 5.533 差異主要看後面最後三行，a/b/c，都是單個的值，則說明三個人都有差異，這次在我修改數值後，三個人都有了較大的差異，比如如果James和Kobe沒差異的話，應該是bc，cb這樣的表示。
2、多元方差分析
其實多元方差只是因變數多了一個，比如我在這個資料集後面加上籃板的引數（實在資料太多，隨機生成吧），
set.seed(1000)
e<-cbind(d,rebound=abs(round(rnorm(45,10,3))))
perform<-cbind(e$value,e$rebound)最新的資料集是
name count value rebound
1 Kobe count.J 5 9
2 Kobe count.J 4 6
3 Kobe count.J 6 10
4 Kobe count.J 5 12
5 Kobe count.J 7 8
6 James count.J 7 9
7 James count.J 5 9
8 James count.J 6 12
9 James count.J 4 10
10 James count.J 8 6
11 jordan count.J 10 7
12 jordan count.J 9 8
13 jordan count.J 10 10
14 jordan count.J 10 10
15 jordan count.J 10 6
16 Kobe count.K 5 11
17 Kobe count.K 4 10
18 Kobe count.K 3 10
19 Kobe count.K 7 4
20 Kobe count.K 5 11
21 James count.K 8 18
22 James count.K 8 6
23 James count.K 9 13
24 James count.K 7 12
25 James count.K 8 8
26 jordan count.K 9 12
27 jordan count.K 9 5
28 jordan count.K 9 11
29 jordan count.K 7 12
30 jordan count.K 8 14
31 Kobe count.j 6 9
32 Kobe count.j 6 12
33 Kobe count.j 7 8
34 Kobe count.j 6 9
35 Kobe count.j 7 5
36 James count.j 8 11
37 James count.j 7 9
38 James count.j 6 13
39 James count.j 7 8
40 James count.j 8 6
41 jordan count.j 9 8
42 jordan count.j 10 14
43 jordan count.j 10 11
44 jordan count.j 8 10
45 jordan count.j 9 9上資料集的value就是投籃good，很鬱悶reshape2包的value.name不好用了。。。
然後如果我們假設人和場地對籃球運動員的表現有顯著地影響，那麼：
fit5<-manova(perform~name*count,data=e)
summary(fit5)得出
Df Pillai approx F num Df den Df Pr(>F)
name 2 0.76600 11.1735 4 72 4.17e-07 ***
count 2 0.14389 1.3954 4 72 0.24419
name:count 4 0.40204 2.2644 8 72 0.03213 *
Residuals 36
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1可以看出，還是姓名對錶現有很強的影響，以及人和場地的互動影響。
下面細分來看：
summary.aov(fit5)結果：
Response 1 :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
name 2 97.911 48.956 47.8913 7.178e-11 ***
count 2 2.844 1.422 1.3913 0.261805
name:count 4 18.756 4.689 4.5870 0.004266 **
Residuals 36 36.800 1.022
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Response 2 :
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
name 2 9.644 4.8222 0.5865 0.5615
count 2 21.111 10.5556 1.2838 0.2894
name:count 4 14.222 3.5556 0.4324 0.7842
Residuals 36 296.000 8.2222 這個就和一元方差類似，response1就是投籃，2是籃板，可以看出，投籃跟之前一樣有很大差異，但是籃板和人、場地以及互動都沒有差異。
3.協方差分析
如果考慮一下這種情況：詹姆斯對喬丹不服，說你進聯盟這麼長時間了，所以經驗豐富，科比經驗第二豐富，如果我們剔除掉訓練因素，看看究竟誰天賦更高？這就好像幾個學生考試，小明考了100分，小美考了90分，但是小明天天學習24小時，小美天天學習1小時，如果我們比較小明和小美的本身天賦（及去掉努力的因素），這時候就該用協方差分析。
簡單按照年齡大小排序，喬丹50，科比40，詹姆斯30，ok，建立資料框
f<-cbind(d,age=rep(c(rep(40,5),rep(30,5),rep(50,5)),3))建好的資料框如下：
name count value age
1 Kobe count.J 5 40
2 Kobe count.J 4 40
3 Kobe count.J 6 40
4 Kobe count.J 5 40
5 Kobe count.J 7 40
6 James count.J 7 30
7 James count.J 5 30
8 James count.J 6 30
9 James count.J 4 30
10 James count.J 8 30
11 jordan count.J 10 50
12 jordan count.J 9 50
13 jordan count.J 10 50
14 jordan count.J 10 50
15 jordan count.J 10 50
16 Kobe count.K 5 40
17 Kobe count.K 4 40
18 Kobe count.K 3 40
19 Kobe count.K 7 40
20 Kobe count.K 5 40
21 James count.K 8 30
22 James count.K 8 30
23 James count.K 9 30
24 James count.K 7 30
25 James count.K 8 30
26 jordan count.K 9 50
27 jordan count.K 9 50
28 jordan count.K 9 50
29 jordan count.K 7 50
30 jordan count.K 8 50
31 Kobe count.j 6 40
32 Kobe count.j 6 40
33 Kobe count.j 7 40
34 Kobe count.j 6 40
35 Kobe count.j 7 40
36 James count.j 8 30
37 James count.j 7 30
38 James count.j 6 30
39 James count.j 7 30
40 James count.j 8 30
41 jordan count.j 9 50
42 jordan count.j 10 50
43 jordan count.j 10 50
44 jordan count.j 8 50
45 jordan count.j 9 50先看看年齡的影響
fit6<-aov(value~age+name+count,f)
summary(fit6)結果為
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
age 1 32.03 32.03 23.064 2.22e-05 ***
name 1 65.88 65.88 47.432 2.69e-08 ***
count 2 2.84 1.42 1.024 0.368
Residuals 40 55.56 1.39
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1可以看到count依然沒差異，但是age的差異比較大，先看看包含age的三個人的投籃命中均值：
aggregate(f$value,by=list(f$name),mean)得出
Group.1 x
1 James 7.066667
2 Kobe 5.533333
3 jordan 9.133333ok，暫時喬丹領先，那麼看看調整後的均值：
library(effects)
effect('name',fit6)結果為：
name effect
name
James Kobe jordan
8.100000 5.533333 8.100000 看到詹姆斯和喬丹的命中相當，也就是說假以時日，詹姆斯的投籃能趕上喬丹。
OK，這篇文章看起來好長，雖然作為勒布朗的球迷給他貼了金，但是三者的原理有些相似但略有不同，據說線性迴歸和方差分析都是廣義迴歸模型的特例，以後可能回頭再看看有什麼聯絡。
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