演算法筆記01--歸納法之整數冪

整數冪

演算法1：對實數x的n次冪設計一個有效的演算法。一種直接的方法是對x用迭代方法自乘n次，這種方法十分低效，因為它需要O（n）乘法。一個高效的方法可以用如下方法推出，令m=n/2，假設已經知道如何計算x^m。那麼有兩種情況：如果n是偶數，那麼x^n = （x^m）^2；否則x^n = x（x^m）^2。

演算法2：令n的二進位制表示為dn-1.....d1,d0。從y=1開始，由n的高位至地位掃描，如果二進位制數字為0，就對y平方；如果為1就對y平方並乘x。這就產生了遞迴演算法EXPREC。

時間複雜度：很明顯該演算法的時間複雜度為O（logn） --考慮n的二進位制長度

思路：由於從n的高位至低位掃描，而低位是很容易取的，因此我們想到棧，由低位至高位將二進位制數依次壓棧，那麼棧頂即是高位，因而遞迴的形式是顯然的。

程式碼：

#include<iostream>

using namespace std;

long long _pow(long long a, long long i)
{
	if(i==0) return 1;
	long long temp = _pow(a,i>>1);
		temp = temp * temp;
	if(i&1) temp = temp * a;
	return temp;
}

int main()
{
	long long a = 4;
	long long i = 5;

	cout<<_pow(4,5)<<endl;
	return 1;
}