1 標度行為

標度行為（Scaling）是現在複雜系統研究中的一個非常典型的現象，它體現為系統的若干巨集觀指標或者某個變數的分佈函式滿足具有不同冪指數的冪律行為。

也就是說，標度行為是一種現象，這種現象滿足冪律分佈。

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2 滲流模型

2.1 什麼是滲流？

滲流是指流體在孔隙介質中的流動。
滲流狀態，是指系統中出現一個大的叢集，能夠將這些叢集節點的和鄰居節點的邊界打通、滲透（只考慮上下左右四個方向的鄰居，叢集即團簇）。

2.2 滲流理論

滲流理論是隨機圖理論研究中的一個重要發現是存在出現巨大節點叢集的臨界概率。即網路具有臨界概率$p_{c}$ ,當不超過$p_{c}$ 時，網路由孤立的節點叢集組成,但是當超過$p_{c}$ 時,巨大節點叢集將擴充套件到整個網路。(臨界概率$p_{c}$ 和叢集下面會介紹)

2.3 相變

系統中的某種巨集觀狀態隨著某一個引數的變化而發生突然的變化。
嚴格來講，滲流模型中的相變應稱之為二級相變，或者連續相變。它是指系統的熱力學函式（熵、自由能）等沒有發生突變，而是熱力學函式的導數發生突變，但在此處我們不去嚴格地討論這些區別。

2.4 滲流模型的講解

舉個簡單的例子，我們考慮 ${\color {Red}L\times L}$的格子，我們一個一個地遍歷白色格子，以概率為$p$去給這些格子染色。我們到第一個格子，就拋一枚硬幣，假設這枚硬幣正反面不均勻，正面出現的概率為$p$，反面出現的概率為$1-p$。

如果硬幣出現正面，那麼我就把當前格子染成黑色；如果硬幣出現反面，那麼我就不用管，讓格子保留原來的白色。

如下圖所示，是一個 $10\times10$ 的格子圖：

接下來，我們再對這些黑色的格子進行染色，也就是說我們會把一大片相通的黑色格子染成一同一種顏色，而兩片彼此不相通的格子就用不同的顏色來染。
兩個格子相通，指的是能找到相鄰(只考慮上下左右)節點。我們把相通的同顏色的格子叫做團簇（Cluster）。

對上圖進行染色後，如圖所示：

圖中一共有8個不同的團簇（Cluster），因此我們用8種不同的顏色對它們進行染色。注意，橙黃色(第八行第一列)和紅色(第七行第二列)兩個格子沒有相鄰，因為他們是對角線的關係，而沒有在上下左右四個方向之一相連。

我們知道概率$p$是一個關鍵的引數，因為$p$的值不同，黑色格子的密度也不同，即團簇的大小不一樣。顯然，當黑色格子密度大的時候，很容易形成團簇；如果密度小的話，格子之間很難形成團簇。

p取值不同，在100*100格子中形成團簇的效果

當 $p=0.4$ 時：

當 $p=0.59$ 時：

當 $p=0.7$ 時：

總結：

• 當 $p=0.7$ 時候，我們用紅色來標記最大的團簇。當 $p<0.59$ 時， 這些團簇較小，因為他們彼此不連通，所以我們需要用較多的顏色來標識這些團簇。當 $p>0.59$ 時，團簇相對較大，所以塗色的種類也相對較少。當 $p=0.59$ 時， 既存在較大的團塊，又用各種顏色來給他們染色。
• $p=0.59$ 是一個"奇點"，也就是臨界值，這是科學家們經過在L趨於無窮時候，理論計算出來的一個數值，理論值為： $p_{c}=0.59274621$ 。也就是說，當 $p>0.59$ 時，系統開始出現滲流。

2.5 相變實驗圖解

• 橫座標：p的取值
• 縱座標：最大的團簇的尺寸（方格數）

我們來做這樣的實驗，我讓引數 $p$ 從0.1到0.9取不同的數值，然後我計算在每個不同取值p的時候，出現的最大的團簇的尺寸（方格數）$S_{max}$，我把 $p$ 當作橫座標最大團簇的尺寸數作為縱座標。
由於系統是隨機的系統，這樣每次給定p後，我們計算的最大團簇尺寸都不一樣。為了避免隨機擾動，我們便進行系綜平均（由於計算時間很長，每個引數我們只做了15次實驗）。然後將不同系統尺寸(L的不同值)情況下的$S_{max}-p$的曲線畫出。

無論L的取值，所有曲線都是單調遞增的，並且隨著L的增大，曲線遞增得越陡。尤其是對於較大的L（如L=150），曲線就會在0.6附近發生嚴重的突變。這時，這種突變就成為相變。
由此推測，如果我們繼續提高L的值，那麼曲線會更抖而且相變點 $p$ 就會越接近 $p_c$ 。

2.6 團簇尺度分佈

這裡，我們來討論一下滲流系統中各個團簇的尺寸的概率分佈情況。
我們知道，滲流系統中每個團簇的尺度是不同的，為了表達出不同團簇的尺度的多樣性，我們把團簇的尺寸看做一個隨機變數，從而來研究這個隨機變數的概率分佈。
下面這張圖展示當 $L=150$，不同引數 $p$ 條件下，團簇尺度的概率分佈情況：

注意，這張圖上的每一個資料點的物理意義是，在給定這個尺寸 $x$ 的情況下，有多少比例的團簇落於小區間 $x+dx$ 。
我們看到，隨著 $p$ 增大越來越接近臨界點0.59的時候，分佈曲線就越來越接近一條直線。
注意，這是${\color{Orange}雙對數座標}$，也就是橫座標和縱座標都取了對數，所以直線就意味著兩個變數 $x$ 和 $y$ 滿足冪律關係。針對 $p=0.58$ 的情況下， 它的尺度分佈密度函式可以擬合為 $p(x)=0.37*x-1.72$。

下圖展示當 $p>p_{c}$ 的分佈情況：

當 $p>p_{c}$時，我們看到 $p$ 偏離臨界值 $p_{c}$ 越多，分佈曲線也越來越偏離冪律分佈。
我們看到 $p=0.7,0.8,0.9$ 的時候，曲線的尾部都是用直線來表示，是因為做實驗的時候這些中間尺度不存在對應的團簇，所以都為0，但是在影象中，我們不用0來表示團簇尺寸，所以就出現了兩個零星點之間用直線相連。

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結尾

我們得出結論，在臨界點附近，滲流系統的團簇尺度分佈是滿足冪律分佈的，即一種標度行為。

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