[亂搞]斐波那契數列與gcd之間一個有趣的定理

alan_cty發表於2017-06-29
GC

求證

gcd(Fn,Fm)=Fgcd(n,m)
\gcd(F_n,F_m)=F_{\gcd(n,m)}

其中 F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>1)

證明

聽說這是一個非常有用的定理，那麼就來隨便證(luan)明(gao)一下

Part 1

gcd(Fn,Fn−1)=1

\gcd(F_n,F_{n-1})=1

證明：gcd(Fn,Fn−1)=gcd(Fn−Fn−1,Fn−1)=gcd(Fn−2,Fn−1)
\gcd(F_n,F_{n-1})=\gcd(F_{n}-F_{n-1},F_{n-1})=\gcd(F_{n-2},F_{n-1})
……
歸納得證

Part 2

Fn+m=Fn−1Fm+FnFm+1

F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}

首先對於m=1顯然成立
對於m=2推一下也成立
然後我們來歸納一發，若m=k-1和m=k成立，那麼m=k+1也成立

Fn+k+1=Fn+k+Fn+k−1
F_{n+k+1}=F_{n+k}+F_{n+k-1}

=Fn−1Fk+FnFk+1+Fn−1Fk−1+FnFk
=F_{n-1}F_{k}+F_{n}F_{k+1}+F_{n-1}F_{k-1}+F_{n}F_{k}

=Fn−1(Fk+Fk−1)+Fn(Fk+1+Fk)
=F_{n-1}(F_{k}+F_{k-1})+F_{n}(F_{k+1}+F_{k})

=Fn−1Fk+1+FnFk+2
=F_{n-1}F_{k+1}+F_{n}F_{k+2}

得證

Part 3

gcd(Fn+m,Fn)=gcd(Fn,Fm)

\gcd(F_{n+m},F_{n})=\gcd(F_n,F_m)

證明：gcd(Fn+m,Fn)=gcd(Fn−1Fm+FnFm+1,Fn)=gcd(Fn−1Fm,Fn)=gcd(Fm,Fn)
\gcd(F_{n+m},F_{n})=\gcd(F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1},F_{n})=\gcd(F_{n-1}F_{m},F_{n})=\gcd(F_{m},F_{n})

得證

Part 4

gcd(Fn,Fm)=Fgcd(n,m)

\gcd(F_{n},F_{m})=F_{\gcd(n,m)}

Part 3 的結論也可以寫作gcd(Fn,Fm)=gcd(Fn−m,Fm)
\gcd({F_{n},F_{m}})=\gcd({F_{n-m},F_{m}})

然後就是輾轉相除法來歸納一發就好了

以上本定理得證

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