準同步取樣演算法

      在對某一週期訊號進行分析時候，我們一般採用AD取樣數字化後，經過FFT或者DFT對其進行分析和計算，一般要求對訊號的同步取樣，T=N*Ts，其中T為被測試訊號的週期，N為一個週期的取樣點數，Ts為取樣間隔。這個時候我們需要對被測試訊號進行“鎖頻”（頻率測定，下節再介紹），如果當訊號含有諧波，這個時候進行精確的頻率測試和同步取樣有些空難，有時候甚至是不可能的。那麼有沒有一種方案，在△範圍內進行AD取樣，通過對取樣資料進行一系列處理，能夠得到或者接近同步取樣效果？下面介紹一種準同步取樣演算法。

電壓有效值：

有功功率：

其中T為訊號週期，T0為積分起點。不考慮開發或其它算術運算，並做變數代換（令x=ωt）,則諸式可表為如下形式：

其中/f(x)表示週期訊號f(x)的平均值，2π為f(x)的週期，x0為積分起點對應的角度值。

      如等分寬為2 π的積分割槽間〔x 。, x 。+ 2π〕為N 段, 均勻取樣得N 個資料八x , ), i = 1 ,

2, ⋯ , N。可以證明, 當N > M (M 為f ( x ) 的最高諧波次數) 時, 有

這就是同步取樣及其演算法的理論基礎。

但如果積分割槽間不是2 π 而是2 π + △ ( △ 稱為同步誤差或週期偏差, 其值可正可負但必有
△ > 一2 π, 則在一般情況下, 上式將不再成立。本文提出的準同步取樣方法就是要在
|△|不太大的情況下, 通過適當增加取樣資料量和採用新的演算法, 來獲得對/f (x ) 的高準確

度估計。

推導：

假設一個週期內週期訊號的平均值為/g(t)，

令t=x/ω,則，

其中f(x) = g(x/ω)，且週期為2π。

如果在取樣頻率偏差Δ 存在時無法實現整週期取樣，那麼：

從而得到：

F1(α) 的值是α 的函式並且也是以2π 為週期的函式。非同步取樣誤差E = f(x)- F1(α)。
由於F1(α) 是以2π 為其週期的函式，可在0-2π 範圍內通過積分求平均值，且可推匯出
/f(x) = F1(α)。

假設積分起點為β，那麼：

同樣，因為不可能實現整週期內的嚴格積分，所以：

同樣，上述等式的積分值與β 相關，並且以2π 為週期，表示為F2(β)。在不影響理解
的情況下，我們將F1(α) 和F2(β) 分別寫作F1(x) 和F2(x)，從而可以得到如下的一個

遞推公式：

可以證明：

在實際應用中，必須取樣連續的模擬訊號並將得到的資料使用離散演算法處理。上述的
準同步遞迴過程可表述如下：
對於公式C-4，積分割槽間[x0, x0+ n x (2π + Δ)] 的寬度為n x (2π + Δ)，可等分為n x N
個部分，從而得到n x N + 1 個取樣資料f(xi) （i=0,1,...,nxN），且我們可進行如下迭

代：

其中ρi 為權重係數，由數字求積公式決定。通常在準同步取樣中使用復化矩形求積算
法或復化梯形求積演算法。

3 週期迭代過程。

在實際應用中，頻率偏差Δ 通常很小，通常通過3-5 次的迭代即能獲得好結果。
如上文所述，迭代過程會得到一組權重係數ηi，稱為準同步演算法的權重係數，可從數
值求積公式中推匯出。顯示了迭代結果和原始資料之間的關係。

稱為準同步窗函式。確定取樣點、迭代數和數值求積方法後，準同步窗函式

的係數將變得明確，並且可提前建立一個準同步窗函式序列。

採用準同步窗函式進行原始資料的加權過程相當於執行一次資料同步，並且演算法的實
現也非常簡單，只需將原始資料和準同步窗函式序列相乘。處理後，新週期訊號將會
具有與原始資料相同的週期和頻率分量，並且新訊號的同步誤差變得更小。
圖C-3 為準同步取樣窗函式的時域特性和資料處理的示意圖。在圖C-3 中，紅色曲線
為窗函式的特性曲線，藍色曲線為輸入訊號，綠色曲線為輸出訊號。

結論

取樣保持誤差、A / D 轉換誤差和外界、內部隨機干擾引起的誤差等在同步取樣與準同步
取樣方法中對每個取樣資料本身的影響是完全相同的。考慮到這些誤差中部分具有均值為零
的隨機性質和準同步取樣運算資料較多, 因此在統計意義上這部分誤差對準同步取樣的影響
要小一些。可得如下結論:
1. 對於測量諸如正弦、非正弦情況下的電壓、電流有效值、平均值和有功、無功功率等
這些最終可歸納為積分求均值運算的量時, 採用準同步取樣方法, 在滿足式(2 5 ) 的條件下,
能夠獲得接近於“ 理想同步取樣” 的測量準確度。如果進一步使滿足式(27 ), 則所需的資料
量就不會太多。
本結論還可推廣至其它訊號特徵的取樣數字測量中, 只要滿足: 訊號為週期訊號; 訊號
特徵的測量最終可歸納為積分求均值運算。
2 . 準同步取樣有兩點特性:
( 1 ) 對第1 次取樣的起點(式( 5 )( 6 ) 中的x0 ) 無任何要求, 因而可在任意時刻接
通訊號開始取樣(測量)。
( 2 ) 對被測訊號頻率的要求僅為預先能知道一個大概數值, 也即允許訊號頻率在一定

範圍內變化(但要求短期穩定性) 而不影響測量結果的準確度。
上述兩點特性就導致在製作準同步來樣測量裝置時可省去同步取樣裝置中結構較複雜、
安裝除錯技術要求很高的同步環節(見圖1 ) , 而代以要求低的振盪器。
考察式(2 9 ), 為了獲得預期的測量效果, 必須也僅須保證在測量的這段非常短的時間

內(工頻情況取n = 3 時僅為0.06 秒) Ω相對穩定, 由式(3 0 ) 這隻要f、Tc 分別相對穩

定即可。可見準同步取樣不僅降低了對訊號頻率f 的要求, 而且也降低了對取樣時間間隔Tc
的要求, 即降低了對振盪器振盪頻率的要求。
3 . 與同步取樣方法一樣, 準同步取樣也未能克服訊號突變對測量的影響問題, 兩者均
要求訊號在被測短時間內是穩定的。
4 . 準同步取樣需要的資料量較多(尤其是在訊號頻率f 變動範圍較大的悄況下), 且受
短暫突發性干擾影響的可能性(概率) 要較1司步取樣為大, 這是它的不足之處。