K-means聚類演算法

     K-means也是聚類演算法中最簡單的一種了，但是裡面包含的思想卻是不一般。最早我使用並實現這個演算法是在學習韓爺爺那本資料探勘的書中，那本書比較注重應用。看了Andrew Ng的這個講義後才有些明白K-means後面包含的EM思想。

     聚類屬於無監督學習，以往的迴歸、樸素貝葉斯、SVM等都是有類別標籤y的，也就是說樣例中已經給出了樣例的分類。而聚類的樣本中卻沒有給定y，只有特徵x，比如假設宇宙中的星星可以表示成三維空間中的點集。聚類的目的是找到每個樣本x潛在的類別y，並將同類別y的樣本x放在一起。比如上面的星星，聚類後結果是一個個星團，星團裡面的點相互距離比較近，星團間的星星距離就比較遠了。

     在聚類問題中，給我們的訓練樣本是，每個，沒有了y。

     K-means演算法是將樣本聚類成k個簇（cluster），具體演算法描述如下：

1、 隨機選取k個聚類質心點（cluster centroids）為。

2、 重複下面過程直到收斂 {

               對於每一個樣例i，計算其應該屬於的類

               

               對於每一個類j，重新計算該類的質心

               

}

     K是我們事先給定的聚類數，代表樣例i與k個類中距離最近的那個類，的值是1到k中的一個。質心代表我們對屬於同一個類的樣本中心點的猜測，拿星團模型來解釋就是要將所有的星星聚成k個星團，首先隨機選取k個宇宙中的點（或者k個星星）作為k個星團的質心，然後第一步對於每一個星星計算其到k個質心中每一個的距離，然後選取距離最近的那個星團作為，這樣經過第一步每一個星星都有了所屬的星團；第二步對於每一個星團，重新計算它的質心（對裡面所有的星星座標求平均）。重複迭代第一步和第二步直到質心不變或者變化很小。

     下圖展示了對n個樣本點進行K-means聚類的效果，這裡k取2。

     

     K-means面對的第一個問題是如何保證收斂，前面的演算法中強調結束條件就是收斂，可以證明的是K-means完全可以保證收斂性。下面我們定性的描述一下收斂性，我們定義畸變函式（distortion function）如下：

     

     J函式表示每個樣本點到其質心的距離平方和。K-means是要將J調整到最小。假設當前J沒有達到最小值，那麼首先可以固定每個類的質心，調整每個樣例的所屬的類別來讓J函式減少，同樣，固定，調整每個類的質心也可以使J減小。這兩個過程就是內迴圈中使J單調遞減的過程。當J遞減到最小時，和c也同時收斂。（在理論上，可以有多組不同的和c值能夠使得J取得最小值，但這種現象實際上很少見）。

     由於畸變函式J是非凸函式，意味著我們不能保證取得的最小值是全域性最小值，也就是說k-means對質心初始位置的選取比較感冒，但一般情況下k-means達到的區域性最優已經滿足需求。但如果你怕陷入區域性最優，那麼可以選取不同的初始值跑多遍k-means，然後取其中最小的J對應的和c輸出。

     下面累述一下K-means與EM的關係，首先回到初始問題，我們目的是將樣本分成k個類，其實說白了就是求每個樣例x的隱含類別y，然後利用隱含類別將x歸類。由於我們事先不知道類別y，那麼我們首先可以對每個樣例假定一個y吧，但是怎麼知道假定的對不對呢？怎麼評價假定的好不好呢？我們使用樣本的極大似然估計來度量，這裡是就是x和y的聯合分佈P(x,y)了。如果找到的y能夠使P(x,y)最大，那麼我們找到的y就是樣例x的最佳類別了，x順手就聚類了。但是我們第一次指定的y不一定會讓P(x,y)最大，而且P(x,y)還依賴於其他未知引數，當然在給定y的情況下，我們可以調整其他引數讓P(x,y)最大。但是調整完引數後，我們發現有更好的y可以指定，那麼我們重新指定y，然後再計算P(x,y)最大時的引數，反覆迭代直至沒有更好的y可以指定。

     這個過程有幾個難點，第一怎麼假定y？是每個樣例硬指派一個y還是不同的y有不同的概率，概率如何度量。第二如何估計P(x,y)，P(x,y)還可能依賴很多其他引數，如何調整裡面的引數讓P(x,y)最大。這些問題在以後的篇章裡回答。

     這裡只是指出EM的思想，E步就是估計隱含類別y的期望值，M步調整其他引數使得在給定類別y的情況下，極大似然估計P(x,y)能夠達到極大值。然後在其他引數確定的情況下，重新估計y，周而復始，直至收斂。

     上面的闡述有點費解，對應於K-means來說就是我們一開始不知道每個樣例對應隱含變數也就是最佳類別。最開始可以隨便指定一個給它，然後為了讓P(x,y)最大（這裡是要讓J最小），我們求出在給定c情況下，J最小時的（前面提到的其他未知引數），然而此時發現，可以有更好的（質心與樣例距離最小的類別）指定給樣例，那麼得到重新調整，上述過程就開始重複了，直到沒有更好的指定。這樣從K-means裡我們可以看出它其實就是EM的體現，E步是確定隱含類別變數，M步更新其他引數來使J最小化。這裡的隱含類別變數指定方法比較特殊，屬於硬指定，從k個類別中硬選出一個給樣例，而不是對每個類別賦予不同的概率。總體思想還是一個迭代優化過程，有目標函式，也有引數變數，只是多了個隱含變數，確定其他引數估計隱含變數，再確定隱含變數估計其他引數，直至目標函式最優。