圖(3)--拓撲排序與關鍵路徑

一.拓撲排序：

1.定義：拓撲排序可以理解為在有向圖無環圖AOV-網(Activity On Vertex ：用圖的頂點表示活動，用弧表示活動之間的優先順序)中排成一個具有前後次序的線性序列。

2.實現方式:

1). 輸入AOV網路。令 n 為頂點個數。
2). 在AOV網路中選一個沒有直接前驅的頂點, 並輸出之;
3). 從圖中刪去該頂點, 同時刪去所有它發出的有向邊;
4). 重複以上 2、3 步, 直到：
全部頂點均已輸出，拓撲有序序列形成，拓撲排序完成

或者，圖中還有未輸出的頂點，但已跳出處理迴圈。這說明圖中還剩下一些頂點，它們都有直接前驅，再也找不到沒有前驅的頂點了。這時AOV網路中必定存在有向環。

3.演算法實現：

Status Topological Sort(ALGraph G)
{
	       //採用鄰接表儲存結構。若G無迴路，則輸出拓撲序列並返回OK，否則ERROR
	        FindInDegree(G，indegree)； //對各頂點求入度indegree[0..vernum-1]
		InitStack(S)；  //建零入度頂點棧
		for(i=0；i<G.vexnum； ++i)  
		   if(!indegree[i])  Push(S，i); //入度為0者進棧
	        count=0; //對輸出頂點計數
		while (!StackEmpty(S)) 
		{ 
                  Pop(S，i);       
		  printf(i，G.vertices[i].data);  
		  ++count;  //輸出i號頂點並計數        
	 	  for(p=G.vertices[i].firstarc; p; p=p->nextarc)
		     {          
			   k=p—>adivex；//對i號頂點的每個鄰接點入度減1           
			   if(！(--indegree[k]))  Push(S，k);   //若入度減為0，則入棧    
	              }//for   
		}//while   
		if(count<G.vexnum) return ERROR;//該有向圖有迴路  
		else return OK；
}//TopologicalSort

二.關鍵路徑（操作帶權的有向AOE-網(Activity on Adge:用邊表示活動，邊上的權值表示活動持續的時間，頂點表示事件，事件表示在它之前的活動全都完成了)）:

1.關鍵路徑：完成工程最短的時間是從開始點（原點）到結束點（匯點）的最長路徑長度，路徑最長的路徑叫做關鍵路徑。

從v1到v9的最長路徑是(v1,v2,v5,v8,v9)，路徑長度是18,故(v1,v2,v5,v8,v9)是一條關鍵路徑

2.關鍵活動:l(i)=e(i),即最早開始時間和最晚開始時間相等的活動，關鍵路徑上的所有活動都是關鍵活動，因此提前完成非關鍵活動並不能提高工程的進度

例如:a6的最早開始時間e(a6)=5,最晚開始時間為l(a6)=8,意味著a6推遲3天完成也不會影響工程的進度，所以分析哪些是關鍵活動將有利於縮短整個工期。

推理怎樣求關鍵活動,即找l(i)=e(i)的活動：

設活動ai由弧<j,k>表示，其持續時間為dut(<j,k>),故有：

e(i)=ve(j) (ve(j)表示頂點事件j的最早開始時間)

l(i)=vl(k)-dut(<j,k>) (vl(k)表示頂點事件k的最晚開始時間)

現在就要求ve(j)和vl(j)，分兩步進行:

(1)從ve(0)=0向前遞推:ve(j)=Max{ve(i)+dut(<i,j>)} <i,j>屬於T(所有以第j個頂點為頭的弧的集合)

(2)從vl(n-1)=ve(n-1) 向後遞推:vl(i)=Min{vl(j)-dut(<i,j>)} <i,j>屬於S(所有以第i個頂點為尾的弧的集合)

於是我們可以得到求關鍵活動的思想如下：

1）輸入e條弧（i，j），建立AOE網的儲存結構。
2）從源點v0出發，令ve[0]＝0按拓撲有序求其餘各頂點的最早發生時ve[i]（1≤i≤ n-1）。如果得到的拓撲有序序列中頂點個數小於網中頂點數n，則說明網中存在環，不能求關鍵路徑，演算法終止；否則執行步驟（3）。
3 ）從匯點vn出發，令vl[n-1]= ve[n-1]，按逆拓撲有序求其餘各頂點的最遲發生時間vl[i] (n-2 ≥i≥ 2)；
4）根據各頂點的ve和vl值，求每條弧s的最早開始時間e(s)和最遲開始時間l(s)。若某條弧滿足條件e(s)=l(s)，則為關鍵活動。

3.利用上述思想解題：

通過已經求得的各個頂點的ve(i)和vl(i)來求活動的e(i)和l()

由於關鍵活動為e(i)=l(i),所以可得a1,a4,a7,a8,a10,a11為關鍵活動，相應的V1->V2->V5->V7->V9和V1->V2->V5->V8->V9為關鍵路徑

4.總結求關鍵路徑的方法：

第一步(求每個頂點事件的最早開始時間)： ve(源點) = 0 ；
ve(j) = Max{ ve(i) + dut(<i, j>)}

第二步(求每個頂點的最晚開始時間)： vl(匯點) = ve(匯點);
vl(i) = Min { vl(j) – dut(<i, j>)}

第三步(求每個活動的最早開始時間和最晚開始時間)： e(s)＝ ve(i)
l(s)＝ vl(j) - dut(<i, j>)

圖(3)--拓撲排序與關鍵路徑

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