這是『超酷演算法』系列的第一篇文章。基本上，任何一種演算法我覺得都很酷，尤其是那些不那麼明顯簡單的演算法。
BK樹或者稱為Burkhard-Keller樹，是一種基於樹的資料結構，被設計於快速查詢近似字串匹配，比方說拼寫檢查器，或模糊查詢，當搜尋”aeek”時能返回”seek”和”peek”。為何BK-Trees這麼酷，因為除了窮舉搜尋，沒有其他顯而易見的解決方法，並且它能以簡單和優雅的方法大幅度提升搜尋速度。
BK樹在1973年由Burkhard和Keller第一次提出，論文在這《Some approaches to best match file searching》。這是網上唯一的ACM存檔，需要訂閱。更細節的內容，可以閱讀這篇論文《Fast Approximate String Matching in a Dictionary》。
在定義BK樹之前，我們需要預先定義一些操作。為了索引和搜尋字典，我們需要一種比較字串的方法。編輯距離（ Levenshtein Distance）是一種標準的方法，它用來表示經過插入、刪除和替換操作從一個字串轉換到另外一個字串的最小操作步數。其它字串函式也同樣可接受（比如將調換作為原子操作），只要能滿足以下一些條件。
現在我們觀察下編輯距離：構造一個度量空間（Metric Space），該空間內任何關係滿足以下三條基本條件：
- d(x,y) = 0 <-> x = y (假如x與y的距離為0，則x=y)
- d(x,y) = d(y,x) (x到y的距離等同於y到x的距離)
- d(x,y) + d(y,z) >= d(x,z)
上述條件中的最後一條被叫做三角不等式（Triangle Inequality）。三角不等式表明x到z的路徑不可能長於另一箇中間點的任何路徑（從x到y再到z）。看下三角形，你不可能從一點到另外一點的兩側再畫出一條比它更短的邊來。
編輯距離符合基於以上三條所構造的度量空間。請注意，有其它更為普遍的空間，比如歐幾里得空間（Euclidian Space），編輯距離不是歐幾里得的。既然我們瞭解了編輯距離（或者其它類似的字串距離函式）所表達的度量的空間，再來看下Burkhard和Keller所觀察到的關鍵結論。
假設現在我們有兩個引數，query表示我們搜尋的字串，n表示字串最大距離，我們可以拿任意字串test來跟query進行比較。呼叫距離函式得到距離d，因為我們知道三角不等式是成立的，所以所有結果與test的距離最大為d+n，最小為d-n。
由此，BK樹的構造就相當簡單：每個節點有任意個子節點，每條邊有個值表示編輯距離。所有子節點到父節點的邊上標註n表示編輯距離恰好為n。比如，我們有棵樹父節點是”book”和兩個子節點”rook”和”nooks”，”book”到”rook”的邊標號1，”book”到”nooks”的邊上標號2。
從字典裡構造好樹後，取任意單詞作為樹的根節點。無論何時你想插入新單詞時，計算該單詞與根節點的編輯距離，並且查詢數值為d(neweord, root)的邊。遞迴得與各子節點進行比較，直到沒有子節點，你就可以建立新的子節點並將新單詞儲存在那。比如，插入”boon”到剛才上述例子的樹中，我們先檢查根節點，查詢d(“book”, “boon”) = 1的邊，然後檢查標號為1的邊的子節點，得到單詞”rook”。我們再計算距離d(“rook”, “boon”)=2，則將新單詞插在”rook”之後，邊標號為2。
在樹中做查詢，計算單詞與根節點的編輯距離d，然後遞迴查詢每個子節點標號為d-n到d+n（包含）的邊。假如被檢查的節點與搜尋單詞的距離d小於n，則返回該節點並繼續查詢。
BK樹是多路查詢樹，並且是不規則的（但通常是平衡的）。試驗表明，1個查詢的搜尋距離不會超過樹的5-8%，並且2個錯誤查詢的搜尋距離不會超過樹的17-25%，這可比檢查每個節點改進了一大步啊！需要注意的是，如果要進行精確查詢，也可以非常有效地通過簡單地將n設定為0進行。
回顧這篇文章，寫的有點長哈，似乎比我預期中的要複雜。希望你在閱讀之後，也能感受到BK樹的優雅和簡單。