【機器學習演算法實現】系列文章將記錄個人閱讀機器學習論文、書籍過程中所碰到的演算法，每篇文章描述一個具體的演算法、演算法的程式設計實現、演算法的具體應用例項。爭取每個演算法都用多種語言程式設計實現。所有程式碼共享至github：https://github.com/wepe/MachineLearning-Demo 歡迎交流指正！
1、演算法簡介
迴歸的概念：假設有一些資料點，我們用一條直線對這些點進行擬合，這個擬合過程就稱作迴歸。
logistic迴歸演算法之所以稱作“logistic”，是因為它運用了logistic函式，即sigmoid函式。
logistic迴歸演算法一般用於二分類問題（當然也可以多類別，後面會講）。
logistic迴歸的演算法思想：
用上面的圖來分析，每個O或X代表一個特徵向量，這裡是二維的，可以寫成x=(x1,x2)。
用logistic迴歸進行分類的主要思想就是根據現有資料集，對分類邊界建立迴歸公式，拿上面這個圖來說，就是根據這些OOXX，找出那條直線的公式：Θ0*x0+Θ1*x1+Θ2*x2=Θ0+Θ1*x1+Θ2*x2=0 （x0=1）。
因為上圖是二維的，所以引數Θ=(Θ0，Θ1, Θ2)，分類邊界就由這個(Θ0，Θ1, Θ2)確定，對於更高維的情況也是一樣的，所以無論二維三維更高維，分類邊界可以統一表示成f(x)=ΘT*x （ΘT表示Θ的轉置）。
對於分類邊界上的點，代入分類邊界函式就得到f(x)=0,同樣地，對於分類邊界之上的點，代入得到f(x)>0，對於分類邊界之下的點，代入得到f(x)f(x)大於0或者小於0來分類了。
logistic迴歸的最後一步就是將f(x)作為輸入，代入Sigmoid函式，當f(x)>0時，sigmoid函式的輸出就大0.5，且隨著f(x)趨於正無窮，sigmoid函式的輸出趨於1。當f(x)0時，sigmoid函式的輸出就小於0.5，且隨著f(x)趨於負無窮，sigmoid函式的輸出趨於0。
所以我們要尋找出最佳引數Θ，使得對於1類別的點x，f(x)趨於正無窮，對於0類別的點x，f(x)趨於負無窮（實際程式設計中不可能正/負無窮，只要足夠大/小即可）。
總結一下思緒，logistic迴歸的任務就是要找到最佳的擬合引數。下圖的g(z)即sigmoid函式，跟我上面講的一樣，將f(x)=ΘT*x作為g(z)的輸入。
以上就是logistic迴歸的思想，重點在於怎麼根據訓練資料求得最佳擬合引數Θ？這可以用最優化演算法來求解，比如常用的梯度上升演算法，關於梯度上升演算法這裡也不展開，同樣可以參考上面推薦的博文。
所謂的梯度，就是函式變化最快的方向，我們一開始先將引數Θ設為全1，然後在演算法迭代的每一步裡計算梯度，沿著梯度的方向移動，以此來改變引數Θ，直到Θ的擬合效果達到要求值或者迭代步數達到設定值。Θ的更新公式：
alpha是步長，一系列推導後：
這個公式也是下面寫程式碼所用到的。
後話：理解logistic迴歸之後可以發現，其實它的本質是線性迴歸，得到ΘT*x的過程跟線性迴歸是一樣的，只不過後面又將ΘT*x作為logistic函式的輸入，然後再判斷類別。
2、工程例項
我的前一篇文章：kNN演算法__手寫識別 講到用kNN演算法識別數字0～9，這是個十類別問題，如果要用logistic迴歸，
得做10次logistic迴歸，第一次將0作為一個類別，1～9作為另外一個類別，這樣就可以識別出0或非0。同樣地可以將1作為一個類別，0、2～9作為一個類別，這樣就可以識別出1或非1……..
本文的例項同樣是識別數字，但為了簡化，我只選出0和1的樣本，這是個二分類問題。下面開始介紹實現過程：
（1）工程檔案說明
在我的工程檔案目錄下，有訓練樣本集train和測試樣本集test，原始碼檔案命名為logistic regression.py
訓練樣本集train和測試樣本集test裡面只有0和1樣本：
（2）原始碼解釋
實現的功能就是從資料夾裡面讀取所有訓練樣本，每個樣本（比如0_175.txt）裡有32*32的資料，程式將32*32的資料整理成1*1024的向量，這樣從每個txt檔案可以得到一個1*1024的特徵向量X，而其類別可以從檔名“0_175.txt”裡擷取0出來。因此，從train資料夾我們可以獲得一個訓練矩陣m*1024和一個類別向量m*1，m是樣本個數。
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def loadData(direction): trainfileList=listdir(direction) m=len(trainfileList) dataArray= zeros((m,1024)) labelArray= zeros((m,1)) for i in range(m): returnArray=zeros((1,1024)) #每個txt檔案形成的特徵向量 filename=trainfileList[i] fr=open('%s/%s' %(direction,filename)) for j in range(32): lineStr=fr.readline() for k in range(32): returnArray[0,32*j+k]=int(lineStr[k]) dataArray[i,:]=returnArray #儲存特徵向量 filename0=filename.split('.')[0] label=filename0.split('_')[0] labelArray[i]=int(label) #儲存類別 return dataArray,labelArray |
- sigmoid(inX)函式
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def sigmoid(inX): return 1.0/(1+exp(-inX)) |
- gradAscent(dataArray,labelArray,alpha,maxCycles)函式
用梯度下降法計算得到迴歸係數，alpha是步長，maxCycles是迭代步數。
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def gradAscent(dataArray,labelArray,alpha,maxCycles): dataMat=mat(dataArray) #size:m*n labelMat=mat(labelArray) #size:m*1 m,n=shape(dataMat) weigh=ones((n,1)) for i in range(maxCycles): h=sigmoid(dataMat*weigh) error=labelMat-h #size:m*1 weigh=weigh+alpha*dataMat.transpose()*error return weigh |
用到numpy裡面的mat，矩陣型別。shape()用於獲取矩陣的大小。
這個函式返回引數向量Θ，即權重weigh
- classfy(testdir,weigh)函式
分類函式，根據引數weigh對測試樣本進行預測，同時計算錯誤率
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def classfy(testdir,weigh): dataArray,labelArray=loadData(testdir) dataMat=mat(dataArray) labelMat=mat(labelArray) h=sigmoid(dataMat*weigh) #size:m*1 m=len(h) error=0.0 for i in range(m): if int(h[i])>0.5: print int(labelMat[i]),'is classfied as: 1' if int(labelMat[i])!=1: error+=1 print 'error' else: print int(labelMat[i]),'is classfied as: 0' if int(labelMat[i])!=0: error+=1 print 'error' print 'error rate is:','%.4f' %(error/m) |
- digitRecognition(trainDir,testDir,alpha=0.07,maxCycles=10)函式
整合上面的所有函式，呼叫這個函式進行數字識別，alpha和maxCycles有預設形參，這個可以根據實際情況更改。
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def digitRecognition(trainDir,testDir,alpha=0.07,maxCycles=10): data,label=loadData(trainDir) weigh=gradAscent(data,label,alpha,maxCycles) classfy(testDir,weigh) |
3、試驗結果
工程檔案可以到這裡下載：github地址
執行logistic regression.py，採用預設形參：alpha=0.07,maxCycles=10，看下效果，錯誤率0.0118
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>>> digitRecognition('train','test') |
改變形參，alpah=0.01，maxCycles=50，看下效果，錯誤率0.0471
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1 |
>>> digitRecognition('train','test',0.01,50) |
這兩個引數可以根據實際情況調整