學習筆記----高斯消元(一)

畫船聽雨發表於2014-07-30
筆記

部落格轉載地址：http://hi.baidu.com/czyuan_acm/item/dce4e6f8a8c45f13d7ff8cda

高斯消元法，是線性代數中的一個演算法，可用來求解線性方程組，並可以求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。
高斯消元法的原理是：
若用初等行變換將增廣矩陣 化為 ，則AX = B與CX = D是同解方程組。
所以我們可以用初等行變換把增廣矩陣轉換為行階梯陣，然後回代求出方程的解。

以上是線性代數課的回顧，下面來說說高斯消元法在程式設計中的應用。

首先，先介紹程式中高斯消元法的步驟：
(我們設方程組中方程的個數為equ，變元的個數為var，注意：一般情況下是n個方程，n個變元，但是有些題目就故意讓方程數與變元數不同)

1. 把方程組轉換成增廣矩陣。

2. 利用初等行變換來把增廣矩陣轉換成行階梯陣。
列舉k從0到equ – 1，當前處理的列為col(初始為0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素絕對值最大的列與第k行交換。如果col列中的元素全為0，那麼則處理col + 1列，k不變。

3. 轉換為行階梯陣，判斷解的情況。

① 無解
當方程中出現(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0時，說明是無解的。

② 唯一解
條件是k = equ，即行階梯陣形成了嚴格的上三角陣。利用回代逐一求出解集。

③ 無窮解。
條件是k < equ，即不能形成嚴格的上三角形，自由變元的個數即為equ – k，但有些題目要求判斷哪些變元是不缺定的。
    這裡單獨介紹下這種解法：
首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個。我們先把所有的變元視為不確定的。在每個方程中判斷不確定變元的個數，如果大於1個，則該方程無法求解。如果只有1個變元，那麼該變元即可求出，即為確定變元。

以上介紹的是求解整數線性方程組的求法，複雜度是O(n3)。浮點數線性方程組的求法類似，但是要在判斷是否為0時，加入EPS，以消除精度問題。


下面講解幾道OJ上的高斯消元法求解線性方程組的題目：

POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1222
POJ 1681 Painter's Problem
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1681
POJ 1753 Flip Game
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1753
POJ 1830 開關問題
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1830

POJ 3185 The Water Bowls

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3185
開關窗戶，開關燈問題，很典型的求解線性方程組的問題。方程數和變數數均為行數*列數，直接套模板求解即可。但是，當出現無窮解時，需要列舉解的情況，因為無法判斷哪種解是題目要求最優的。

POJ 2947 Widget Factory
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2947
求解同餘方程組問題。與一般求解線性方程組的問題類似，只要在求解過程中加入取餘即可。
注意：當方程組唯一解時，求解過程中要保證解在[3, 9]之間。

POJ 1166 The Clocks
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1166
經典的BFS問題，有各種解法，也可以用逆矩陣進行矩陣相乘。
但是這道題用高斯消元法解決好像有些問題(困擾了我N天...持續困擾中...)，由於週期4不是素數，故在求解過程中不能進行取餘(因為取餘可能導致解集變大)，但最後求解集時，還是需要進行取餘操作，那麼就不能保證最後求出的解是正確的...在discuss裡提問了好幾天也沒人回答...希望哪位路過的大牛指點下～～

POJ 2065 SETI
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2065
同樣是求解同餘方程組問題，由於題目中的p是素數，可以直接在求解時取餘，套用模板求解即可。(雖然AC的人很少，但它還是比較水的一道題，)

POJ 1487 Single-Player Games
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1487
很麻煩的一道題目...題目中的敘述貌似用到了編譯原理中的詞法定義(看了就給人不想做的感覺...)
解方程組的思想還是很好看出來了(前提是通讀題目不下5遍...)，但如果把樹的字串表示式轉換成方程組是個難點，我是用棧 + 遞迴的做法分解的。首先用棧的思想求出該結點的孩子數，然後遞迴分別求解各個孩子。
這題解方程組也與眾不同...首先是求解浮點數方程組，要注意精度問題，然後又詢問不確定的變元，按前面說的方法求解。
一頓折騰後，這題居然寫了6000+B...而且囧的是巨人C++ WA，G++ AC，可能還是精度的問題吧...看這題目，看這程式碼，就沒有改的慾望...

hdu OJ 2449
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2449
哈爾濱現場賽的一道純高斯題，當時鶴牛敲了1個多小時...主要就是寫一個分數類，套個高精模板(偷懶點就Java...)搞定～～
注意下0和負數時的輸出即可。

fze OJ 1704
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1704
福大月賽的一道題目，還是經典的開關問題，但是方程數和變元數不同(考驗模板的時候到了～～)，最後要求增廣陣的階，要用到高精度～～

Sgu 275 To xor or not to xor
http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=275
題解:
http://hi.baidu.com/czyuan%5Facm/blog/item/be3403d32549633d970a16ee.html

這裡提供下自己寫的還算滿意的求解整數線性方程組的模板(浮點數類似，就不提供了)～～

/* 用於求整數解得方程組. */

#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn = 105;
int equ, var; // 有equ個方程，var個變元。增廣陣行數為equ, 分別為0到equ - 1，列數為var + 1，分別為0到var.
int a[maxn][maxn];
int x[maxn]; // 解集.
bool free_x[maxn]; // 判斷是否是不確定的變元.
int free_num;
void Debug(void)
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < equ; i++)
    {
        for (j = 0; j < var + 1; j++)
        {
            cout << a[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
}
inline int gcd(int a, int b)
{
    int t;
    while (b != 0)
    {
        t = b;
        b = a % b;
        a = t;
    }
    return a;
}
inline int lcm(int a, int b)
{
    return a * b / gcd(a, b);
}
// 高斯消元法解方程組(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮點數解，但無整數解，-1表示無解，0表示唯一解，大於0表示無窮解，並返回自由變元的個數)
int Gauss(void)
{
    int i, j, k;
    int max_r; // 當前這列絕對值最大的行.
    int col; // 當前處理的列.
    int ta, tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;
    // 轉換為階梯陣.
    col = 0; // 當前處理的列.
    for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
    {
        // 列舉當前處理的行.
        // 找到該col列元素絕對值最大的那行與第k行交換.(為了在除法時減小誤差)
        max_r = k;
        for (i = k + 1; i < equ; i++)
        {
            if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
        }
        if (max_r != k)
        {
            // 與第k行交換.
            for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
        }
        if (a[k][col] == 0)
        {
            // 說明該col列第k行以下全是0了，則處理當前行的下一列.
            k--;
            continue;
        }
        for (i = k + 1; i < equ; i++)
        {
            // 列舉要刪去的行.
            if (a[i][col] != 0)
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
                ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
                if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 異號的情況是兩個數相加.
                for (j = col; j < var + 1; j++)
                {
                    a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
                }
            }
        }
    }
    Debug();
    // 1. 無解的情況: 化簡的增廣陣中存在(0, 0, ..., a)這樣的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    {
        // 對於無窮解來說，如果要判斷哪些是自由變元，那麼初等行變換中的交換就會影響，則要記錄交換.
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    // 2. 無窮解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中出現(0, 0, ..., 0)這樣的行，即說明沒有形成嚴格的上三角陣.
    // 且出現的行數即為自由變元的個數.
    if (k < var)
    {
        // 首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個.
        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
        {
            // 第i行一定不會是(0, 0, ..., 0)的情況，因為這樣的行是在第k行到第equ行.
            // 同樣，第i行一定不會是(0, 0, ..., a), a != 0的情況，這樣的無解的.
            free_x_num = 0; // 用於判斷該行中的不確定的變元的個數，如果超過1個，則無法求解，它們仍然為不確定的變元.
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
            }
            if (free_x_num > 1) continue; // 無法求解出確定的變元.
            // 說明就只有一個不確定的變元free_index，那麼可以求解出該變元，且該變元是確定的.
            temp = a[i][var];
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
            }
            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出該變元.
            free_x[free_index] = 0; // 該變元是確定的.
        }
        return var - k; // 自由變元有var - k個.
    }
    // 3. 唯一解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中形成嚴格的上三角陣.
    // 計算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 說明有浮點數解，但無整數解.
        x[i] = temp / a[i][i];
    }
    return 0;
}
int main(void)
{
    ///freopen("Input.txt", "r", stdin);
    int i, j;
    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        memset(x, 0, sizeof(x));
        memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一開始全是不確定的變元.
        for (i = 0; i < equ; i++)
        {
            for (j = 0; j < var + 1; j++)
            {
                scanf("%d", &a[i][j]);
            }
        }
//        Debug();
        free_num = Gauss();
        if (free_num == -1) printf("無解!\n");
        else if (free_num == -2) printf("有浮點數解，無整數解!\n");
        else if (free_num > 0)
        {
            printf("無窮多解! 自由變元個數為%d\n", free_num);
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                if (free_x[i]) printf("x%d 是不確定的\n", i + 1);
                else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

/* czyuan原創，轉載請註明出處。*/


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