學習筆記----KM演算法

畫船聽雨發表於2014-02-18
筆記演算法

話說KM這個東西看起來有點吃力啊，本來就笨再加上狀態不是很好，看的好慢啊。一開始看的書，書上有好多的什麼定理的東東說的很官方，不是那麼的通俗易懂啊。

我自己的理解就是在二分圖中找一個最優的匹配。意思就是，先找到那個叫做相等子圖的東東，然後在那個基礎上進行想外的擴散。如果遇到一些點不能被是最優覆蓋時，就要調整了啊。就把那個d找出來，然後調整那個頂標。總之，感覺亂亂的啊，先把這個東西，標記一下啊，我等下，狀態回升一下在好好看看啊。模擬了一遍演算法瞬間感覺創始人好厲害啊！不得不佩服那些前輩們啊！

轉一篇寶哥的部落格，留著以後好好研究：

兩個不錯的介紹KM演算法的文章：

1：
http://www.cppblog.com/MatoNo1/archive/2011/07/23/151724.aspx

2：

  KM演算法是通過給每個頂點一個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的。設頂點Xi的頂標為A[i]，頂點Yi的頂標為B[i]，頂點Xi與Yj之間的邊權為w[i,j]。在演算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始終成立。KM演算法的正確性基於以下定理：
　　若由二分圖中所有滿足A[i]+B[j]=w[i,j]的邊(i,j)構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那麼這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。
　　這個定理是顯然的。因為對於二分圖的任意一個匹配，如果它包含於相等子圖，那麼它的邊權和等於所有頂點的頂標和；如果它有的邊不包含於相等子圖，那麼它的邊權和小於所有頂點的頂標和。所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配。
　　初始時為了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恆成立，令A[i]為所有與頂點Xi關聯的邊的最大權，B[j]=0。如果當前的相等子圖沒有完備匹配，就按下面的方法修改頂標以使擴大相等子圖，直到相等子圖具有完備匹配為止。
　　我們求當前相等子圖的完備匹配失敗了，是因為對於某個X頂點，我們找不到一條從它出發的交錯路。這時我們獲得了一棵交錯樹，它的葉子結點全部是X頂點。現在我們把交錯樹中X頂點的頂標全都減小某個值d，Y頂點的頂標全都增加同一個值d，那麼我們會發現：

  • 兩端都在交錯樹中的邊(i,j)，A[i]+B[j]的值沒有變化。也就是說，它原來屬於相等子圖，現在仍屬於相等子圖。
  • 兩端都不在交錯樹中的邊(i,j)，A[i]和B[j]都沒有變化。也就是說，它原來屬於（或不屬於）相等子圖，現在仍屬於（或不屬於）相等子圖。
  • X端不在交錯樹中，Y端在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原來不屬於相等子圖，現在仍不屬於相等子圖。
  • X端在交錯樹中，Y端不在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所減小。也就說，它原來不屬於相等子圖，現在可能進入了相等子圖，因而使相等子圖得到了擴大。

　　現在的問題就是求d值了。為了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始終成立，且至少有一條邊進入相等子圖，d應該等於min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交錯樹中，Yi不在交錯樹中}。

　　以上就是KM演算法的基本思路。但是樸素的實現方法，時間複雜度為O(n4)——需要找O(n)次增廣路，每次增廣最多需要修改O(n)次頂標，每次修改頂標時由於要列舉邊來求d值，複雜度為O(n2)。實際上KM演算法的複雜度是可以做到O(n3) 的。我們給每個Y頂點一個“鬆弛量”函式slack，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖 中，則讓slack[j]變成原值與A[i]+B[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值中的最小 值作為d值即可。但還要注意一點：修改頂標後，要把所有的slack值都減去d。

O(N^4)模板： 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define maxn 301
using namespace std;
 
const int inf = 99999999;
int w[maxn][maxn],link[maxn];
int lx[maxn],ly[maxn];//記錄頂標
bool vtx[maxn],vty[maxn];//記錄X,Y點集是否被訪問過
int nx,ny;
 
bool dfs(int i)
{
    int j;
    vtx[i] = true;//記住要標記
    for (j = 0; j < ny; ++j)
    {
        //按可行邊超找增廣軌
        if (!vty[j] && lx[i] + ly[j] == w[i][j])
        {
            vty[j] = true;
            if (link[j] == -1 || dfs(link[j]))
            {
                link[j] = i;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int KM()
{
    int i,j,k;
    //初始化X點集的頂標
    for (i = 0; i < nx; ++i)
    {
        for (j = 0,lx[i] = -inf; j < ny; ++j)
        {
            lx[i] = max(lx[i],w[i][j]);
        }
    }
    //初始化
    for (i = 0; i < maxn; ++i)
    {
        link[i] = -1; ly[i] = 0;
    }
    for (i = 0; i < nx; ++i)
    {
        while (1)
        {
            for (j = 0; j < maxn; ++j) vtx[j] = vty[j] = false;
            if (dfs(i)) break;//找到增廣軌跳出迴圈
            int d = inf;
            //尋找d
            for (j = 0; j < nx; ++j)
            {
                if (vtx[j])
                {
                    for (k = 0; k < ny; ++k)
                    {
                        if (!vty[k]) d = min(d,lx[j] + ly[k] - w[j][k]);
                    }
                }
            }
            if (d == inf) return -1;//無完備匹配退出<br>　　　　　　　//在經過dfs後得到的交錯樹上進行加減d，因為在交錯樹上的都滿足lx[i] +　ly[j] == w[i][j]加減後無影響。
            for (j = 0; j < nx; ++j) if (vtx[j]) lx[j] -= d;
            for (j = 0; j < ny; ++j) if (vty[j]) ly[j] += d;
        }
    }
    //計算最大帶權匹配
    int sum = 0;
    for (i = 0; i < ny; ++i)
    if (link[i] > -1) sum += w[link[i]][i];
    return sum;
}
int main()
{
    int i,j;
    while (~scanf("%d",&nx))
    {
        ny = nx;
        memset(w,0,sizeof(w));
        for (i = 0; i < nx; ++i)
        {
            for (j = 0; j < ny; ++j)
            {
                scanf("%d",&w[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",KM());
    }
    return 0;
}

O(n^3)模板：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define maxn 301
using namespace std;
 
const int inf = 99999999;
int w[maxn][maxn],link[maxn];
int lx[maxn],ly[maxn];//記錄頂標
int slack[maxn];
bool vtx[maxn],vty[maxn];//記錄X,Y點集是否被訪問過
int nx,ny;
 
bool dfs(int i)
{
   int j;
   vtx[i] = true;
   for (j = 0; j < ny; ++j)
   {
       if (vty[j]) continue;
       int tmp = lx[i] + ly[j] - w[i][j];
       if (tmp == 0)
       {
           vty[j] = true;
           if (link[j] == -1 || dfs(link[j]))
           {
               link[j] = i;
               return true;
           }
       }
       else
       slack[j] = min(slack[j],tmp);//更新鬆弛量
   }
   return false;
}
 
int KM()
{
    int i,j;
    //初始化lx
    for (i = 0; i < nx; ++i)
    {
        for (j = 0,lx[i] = -inf; j < ny; ++j)
        {
            lx[i] = min(lx[i],w[i][j]);
        }
    }
    for (i = 0; i < maxn; ++i)
    {
        link[i] = -1; ly[i] = 0;
    }
    for (i = 0; i < nx; ++i)
    {
        for (j = 0; j < ny; ++j) slack[j] = inf;//初始化鬆弛量
        while (1)
        {
            for (j = 0; j < maxn; ++j) vtx[j] = vty[j] = false;
            if (dfs(i)) break;
            int d = inf;
            for (j = 0; j < ny; ++j)
            {
                if (!vty[j] && d > slack[j]) d = slack[j];
            }
            if (d == inf) return -1;
            for (j = 0; j < nx; ++j)
            if (vtx[j]) lx[j] -= d;
            for (j = 0; j < ny; ++j)
            if (vty[j]) ly[j] += d;
            else    slack[j] -= d;//注意鬆弛量的修改
        }
    }
    int sum = 0;
    for (i = 0; i < ny; ++i)
    if (link[i] > -1) sum += w[link[i]][i];
    return sum;
}
int main()
{
    int i,j;
    while (~scanf("%d",&nx))
    {
        ny = nx;
        memset(w,0,sizeof(w));
        for (i = 0; i < nx; ++i)
        {
            for (j = 0; j < ny; ++j)
            {
                scanf("%d",&w[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",KM());
    }
    return 0;
}


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