演算法導論_第九章_中位數和順序統計量

演算法導論_第九章_中位數和順序統計量

最小值和最大值

在一個有n個元素的集合中，至少要n-1次比較才能找到最小值或最大值。

如果同時找最大值和最小值，只需要3*(n/2)次比較，因為對於兩個數，首先對這兩個數

進行比較，較大的一個與最大值比較，較小的一個與最小值比較，這樣就找到了最大最

小值。

期望為線性的選擇演算法

利用快排中的分治思想找到第i大的數字

下面上程式碼：

/*************************************************************************
	> File Name: randomized_select.cpp
	> Author:chudongfang 
	> Mail:1149669942@qq.com 
	> Created Time: 2016年06月29日 星期三 16時17分58秒
 ************************************************************************/

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
int randomized_select(int A[],int p,int r,int i);
int randomized_partition(int A[],int p,int r);
void swap(int *x,int *y){int t;  t=*x;  *x=*y;   *y=t; }
int main(int argc,char *argv[])
{
    int A[100];
    int n,m;
    printf("please input the number of array:");
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&A[i]);
        
    printf("please input the number you want get:");
    scanf("%d",&m);
    printf("%d",randomized_select(A,1,n,m));
    
    return 0;
}

int randomized_select(int A[],int p,int r,int i)
{
    if(p==r)//如果只剩一個元素，直接返回
        return A[p];
    int q=randomized_partition(A,p,r);//分割
    int k=q-p+1;//分割左邊的長度
    if(i==k) //如果正好為第i大的元素，返回
        return A[q];
    else if(i<k)//如果其比i大，在左邊陣列中找
        return randomized_select(A,p,q-1,i);
    else  
        return randomized_select(A,q+1,r,i-k);//如果其比i小，在右邊陣列中找
}

int randomized_partition(int A[],int p,int r)
{
    int y=p+rand()%(r+1-p);//隨機交換A[r]
    swap(A+y,A+r);
    int x=A[r];//以這個元素為主元，即拿這個元素與其他元素比較
    int i=p-1;//i為最左邊元素減一
    //其中，從p到i為小於等於x的子陣列1，而從i+1到j為大於等於x的子陣列2，
    //從j+1到r-1表示的是還未進行分配的子陣列
    //而元素r為主元
    for(int j=p;j<=r-1;j++)
    {
        if(A[j]<=x)
        {
            i++;//子陣列1加入一個元素
            //加一後的i大於等於x
            swap(A+i,A+j);
            //交換後其恢復原來“秩序”
        }
    }
    
    swap(A+i+1,A+r);//把主元放到合適的位置。
    return i+1;//返回主元的位置
}

經分析，其時間為線性的，為O(n)

最壞情況為線性時間的演算法SELECT

1.將輸入陣列的n個元素劃分為[n/5]組，每組5個元素，且至多隻有一組由剩下nmod 5組

成

2.插入排序尋找中位數

3.對2中找出的中位數遞迴呼叫SELECT，找出其中的中位數

4.按3找出的中位數進行劃分

5.如果i==k返回，i<k在低位區間遞迴呼叫SELECT i>k在高位區間遞迴呼叫SELECT

其時間複雜度

T(n)=T(n/5)+T(7*n/10+6)+O(n)

其中T(7*n/10+6)是因為步驟5中的最多要在7*n/10+6個數中進行查詢

經計算，其時間複雜度為:

O(n)