2024.3.20
已知函式 \(f(x) = x^2 +(a-2)x-a\ln x\)
1.\(a = 1\) 時求 \(f(x)\) 的極值
2.討論 \(f(x)\) 的單調性
3.若 $n\in N^* $，求證 \(\sum_{i=1}^n \dfrac{i}{(i+1)^2}\lt \ln(n+1)\)
答案
前兩問就不求了，第一問的結論是：$f(x)$ 在1處最小值0第二問需要討論 \(a\) 與 \(0\) 的關係，因為 \(a = 0\) 時定義域不同，其他的討論一下 \(-\dfrac{a}{2}\) 和 \(1\) 的關係即可
然後我們可以轉化為求：\(\dfrac{n}{(n+1)^2}\lt ln(\dfrac{n+1}{n})\)
然後我們進行一些小轉化：\(\dfrac{i}{i+1} - (\dfrac{i}{i+1})^2 = \dfrac{i}{(i+1)^2}\)
然後我們考慮設 \(x = \dfrac{i}{i+1}\),那就是要求：\(x - x^2\lt \ln(\dfrac{1}{x})\)
\(x - x^2+\ln x\lt 0\) 然後發現就是上面第一問的形式，並且 \(x\not =1\) 所以取不到極小值0，得證