RSA演算法應用及證明

最近在搞hadoop，因為它用到了ssh，上網查了查，順便把ssh所用到的RSA演算法看了看，覺得很不錯，寫下來梳理一下，也算作備忘。

RSA定理

若P和Q是兩個相異質數(即都為質數且最大公約數為1)，另有正整數e和d，其中d的值與( P - 1 )( Q - 1 )的值互質(即最大公約數為1)，並使得( ed ) mod ( P - 1 )( Q - 1 ) = 1。有正整數A，且A < PQ，設C = A^e mod PQ，B = C^d mod PQ則有：A = B。

應用：公鑰-私鑰機制

公鑰為一個整數對(N, e)；私鑰也是整數對(N, d)。

例：P=101，Q=113,則N=11413，e=3533,d=6597。

滿足RSA定理的各個關係：gcd[d, (P-1)*(Q-1)] = gcd(6597, 100*112) = gcd(6597, 11200) = 1;

(ed)mod[(P-1)(Q-1)] = (3533*6597)mod(100*112) = 23307201 mod 11200 = 1;

那麼，我們就有了公鑰(11413, 3533),和私鑰(11413, 6597)。

可以由RSA定理得知：對於任何小於11413的正整數a，都有：(a^3533)mod 11413 = c, (c^6597)mod 11413 = a。

比如：a=9726時，(9726^3533)mod 11413 = 5761 = c；(5791^6597)mod 11413 = 9726 = a。

這樣的話，規定郵件接收者擁有公鑰(11413, 3533)和私鑰(11413, 6597)，公鑰可以公開給任何人，而私鑰由此人保管，不洩漏給任何人。

當傳送者要向接收者傳送一封郵件，內容是9726時，他向接收者申請，讓接收者把他的公鑰(11413, 3533)發給傳送者，傳送者做了運算(9726^3533)mod 11413 = 5761，將內容9726加密成為5761，傳送給接收者。

因為只有私鑰可以解密這一郵件，而且無法從公鑰推匯出私鑰的內容，所以即使其他人知道公鑰是(11413, 3533)，電文是5761，仍然無法知道內容是什麼。

在接收者收到5761後，做運算(5791^6597)mod 11413 = 9726，即還原出原文內容，達到保密的目的。

下面是RSA定理的證明，出自http://blog.csdn.net/fireseed/archive/2005/03/23/327444.aspx，作者很強大，這裡謝謝了。

RSA定理

若P和Q是兩個相異質數，另有正整數R和M，其中M的值與( P - 1 )( Q - 1 )的值互質，並使得( RM ) mod ( P - 1 )( Q - 1 ) = 1。有正整數A，且A < PQ，設C = AR mod PQ，B = CM mod PQ則有：A = B

證明：

將C = A^R mod PQ代入B = C^M mod PQ得：

B = ( ( A^R mod PQ )^M ) mod PQ

根據積模分解公式，可變形為：

B = ( A^R )^M mod PQ

B = A^RM mod PQ                      （1）

因為有( RM ) mod ( P - 1 )( Q - 1 ) = 1，所以有：

RM = K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1，K為正整數。

代入（1）得：

B = A^{K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1} mod PQ                 （2）

如果A^RM < PQ時，明顯有B = A。

如果A^RM > PQ，且A不是P的倍數也不是Q的倍數時，（2）可變形為：

B = ( AA^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} ) mod PQ

根據積模分解公式可變形為：

B = ( ( A mod PQ )( A^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod PQ ) ) mod PQ                   （3）

根據定理三的逆定理：

A^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod PQ = ( A^{K ( P - 1 )} ) ^{( Q - 1 )} mod Q

根據費馬小定理可得：

( A^{K ( P - 1 )} ) ^{( Q - 1 )} mod Q = 1，則

A^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod PQ = 1

故( 3 )可轉化為：

B = ( A mod PQ ) mod PQ

因為A < PQ，所以B = A成立。

在述證明過程中可以總結一點：

當P為素數且A和P互質時，那麼當N為任意自然數時都有A^{N( P - 1 )} mod P = 1成立，這個定理下面還要用到，我們稱之為定理四。 

如果A^RM > PQ，且A不是P的倍數而是Q的倍數時，A可表示為A = NQ，N為一小於A的整數。

那麼（2）式可變形為：

B = ( NQ )^{K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1} mod PQ

B = ( N^{K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1} )( Q^{K ( P - 1 )( Q - 1 ) + 1} ) mod PQ

把Q作為公因子提出來，得：

B = ( ( NN^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} ) ( Q^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod P ) ) Q

用積模分解公式進行分解，得：

B = ( ( NN^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod P )( Q^{K ( P - 1 )( Q - 1 )} mod P ) mod P ) Q

跟據定理四，N^{K ( P - 1 )( Q - 1 )}和Q^{K ( P - 1 )( Q - 1 )}的值都為1，所以有：

B = ( ( ( N mod P ) mod P ) mod P ) Q

B = NQ mod PQ mod PQ mod PQ

B = A mod PQ mod PQ mod PQ

因為A < PQ，所以B = A成立

同理，當A是P的倍數而不是Q的倍數時，B = A也成立。

 又因為A小於PQ，而P和Q又都是質數，所以A既是P的倍數又是Q的倍數的情況不存在。

 RSA定理成立。