數論學習總結2

     5.威爾遜定理

     (p-1)! mod p=-1 (p為素數)

     證：

        若p不是素數，則gcd((p-1)!,p)>1,且(p-1)! mod p=k*gcd((p-1)!,p) (k=1,2,3...)，即證充分性。

        設集合A={1,2,3...p-1} 則A為 mod p 的剩餘系，考慮任意i ∈ A存在j ∈ A使i*j mod p=1

             (因為p為素數，所以i與p互質，k*i mod p 構成了一個剩餘系，k=1,2,3...p-1,即存在j k)

        考慮i=j的情況，則有x^2 mod p=1

             ((x^2-1) mod p=0 >> (x-1)(x+1) mod p=0 >>x=1或x=p-1)

        於是有(p-1)! mod p=((1 mod p)*((p-1) mod p)) mod p=-1

   6.費馬小定理

     a^(p-1) mod p=1 (p為素數且a與p互質)

     證：

        a mod p構成了一個剩餘系A，k*a mod p ∈ A (k=1,2,3...p-1)，於是有 

        (1*a mod p)*(2*a mod p)...((p-1)*a mod p)mod p = (p-1)! mod p

        運用 威爾遜定理 化簡得 (a^(p-1) mod p)*(-1) ≡ -1 (mod p)

        等式兩邊乘以-1，即證