趣題：建構函式使得平面上任意小的圓內均包含函式上的點

    你認為是否有可能存在這樣一個函式f：在平面上隨便畫一個圓，圓裡面總能夠找到函式影象上的一個點？繼續看下去前，不妨先仔細思考一下。


    為了說明任一圓內都包含函式上的點，我們只需要說明對於平面上任意給定點(x,y)，對於任意小的d都能在函式上找到一點，使得其橫座標落在x±d的範圍內且縱座標落在y±d內。這樣的話，任意給出一個圓後，我都能保證圓的內接正方形裡有點。
    我們構造這個函式f的基本思路是，構造一個將全體有理數對映到全體有理數的函式。注意到有理數是可數的，我們可以用這裡的方法將全體有理數和自然數建立一一對應關係。也就是說，我們有了一個定義域為全體自然數、值域為全體有理數的一對一函式R(x)，它所對應的函式值是第x個有理數。下面我們開始著手定義我們要求的函式f(x)。函式f(x)的定義域是全體有理數，定義域裡的每個x都可以表示成n/m的形式（化到最簡），於是我們可以令f(x)=f(n/m)=R(m)。對於任意的y和d，在y±d裡肯定存在一個有理數，假如按照上面的對應來看它是第m個有理數（即R(m)），下面我們就想辦法說明我們總能夠找到一個n，使得n/m在x±d的範圍內。當然，如果運氣不好m值很小的話我們就掛了，我們很自然地想到，這個m值應該越大越好，最好能重新定義一個值域為全體有理數的函式，對任一給定的有理數我們都能找出任意大的m對應到它。然後我們想到定義一個多對一的、定義域和值域都是自然數的函式H(x)：
x    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 ...
H(x) 1  1  2  1  2  3  1  2  3  4  1  2  3  4  5 ...

    重新定義f(x)=f(n/m)=R(H(m))，這樣的話任意給定一個有理數，我們可以找到任意大的m使得R(H(m))等於這個有理數。當m足夠大時，m(x-d)和m(x+d)之間一定會出現一個整數n，則此時n/m在x±d的範圍內。
    但我們又遇到一個問題：要是找到的那個n始終不能和m互質（表明沒化到最簡）咋辦？我的直覺是，這種極端的情況應該是不存在的，當m充分大時，總有一個滿足要求的n/m出現。但我沒有嚴格證明它。其實，我根本不需要去證明它；這個題目有趣就有趣在，我這個函式f是可以隨便構造的。你或許在想，要是分母m為質數就好了。那好，我就可以強迫分母m為質數。定義一個定義域為全體質數，值域為全體正整數的函式P(x)，它表示x是第幾個質數：
x    1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 ...
P(x) -  1  2  -  3  -  4  -  -  -  5  -  6  -  - ...

    重新定義f(x)=f(n/m)=R(H(P(m)))，現在我們能夠找到任意大的質數m使得R(H(P(m)))等於指定的有理數。當m足夠大時，m(x-d)和m(x+d)之間一定會出現兩個相鄰的整數p和q，由於m是質數，p和q之間總有一個數與m互質（不可能都是m的整倍數），我們需要的n也就找到了。

滿足要求的函式有很多。這只是其中一種構造方法。大家能不能再想一些更有趣的構造來？
來源：http://www.douban.com/group/topic/2561708/
參考網友yushih的解答

最近重新整理了日誌Tag。如果你喜歡這篇文章，不要錯過這裡的驚奇數學事實，你會看到更多難以置信的數學結論。