運用條件概率分析合情推理模式

1. Goldbach猜想是說，任一大於等於4的偶數一定能表示成兩個質數之和。關於質數，我們還有這樣一個有趣的結論：對於任何整數n>1，存在質數p滿足n<=p<2n。這個結論對Goldbach猜想是很“有利”的，因為它是Goldbach猜想的一個必要條件。倘若對於某個正整數n，n和2n之間沒有質數，那麼偶數2n就不能表示為兩個質數之和了，因為所有可以用的質數都比n小，再怎麼也加不出2n來。注意，如果這個結論錯了，猜想也就被推翻了；但如果這個結論對了，猜想也不一定是對的。但即使這樣，我們仍然習慣性地認為，驗證了推論的正確性後猜想的可靠程度也或多或少的有了些提高，換句話說猜想為真的可能性更大了。這種思維合理嗎？

2. 長期以來，人們都在思考：對任一給定的平面圖進行染色，要想使得有公共邊的區域顏色不同，最少需要多少種顏色。四色猜想（現在已經是四色定理了）認為，只需要最多四種不同的顏色就足夠了。我們可以隨便畫一些圖進行驗證，每一次檢驗後我們都會或多或少地更加相信結論的正確性。你可以嘗試尋找下面的圖1、圖2和圖3的合法解，檢驗一下猜想是否正確。驗證哪一個圖更有價值？你或許會這樣回答：驗證第一個圖毫無價值，因為它顯然有可行的染色方案；驗證第三個圖最有價值，因為它看上去最像反例，證實了它確實有解後，你會更加堅信四色猜想的正確性。1975年的4月1日，雜誌Scientific American的數學專欄作家Martin Gardner宣佈他找到了一個四色猜想的反例（圖4）。當然，這只是一個愚人節的笑話。尋找圖4的解非常困難，以致於看上去幾乎是不可能的。一旦你成功找出了圖4的解，對四色猜想的信任程度可就不只提高一點點了。“對猜想的某個結論進行驗證，結論越是不可思議，證實以後原猜想的可靠程度就提高得越多”，這種思維是合理的嗎？
  


  
3. 你認為，是否有可能把一個直角三角形分成若干個銳角三角形？你很可能花了一節古代漢語課的時間苦思冥想，結果直角三角形沒搞出來，倒是碰巧把一個正方形分成了8個銳角三角形。雖然你仍不知道一個直角三角形是否能分成若干個銳角三角形，但你找到了一個正方形的解，你會強烈地感覺到直角三角形也是有解的。這是什麼原因呢？注意到，如果三角形能分的話正方形一定能分，但反過來卻不一定。不過，這裡面還有一些更微妙的關係：我們傾向於相信如果連直角三角形都沒法分，正方形應該更沒法分了。既然現在正方形已經解決了，那三角形也就快了。“B是A的結論，且沒有A的B很不可靠，則證實了B可以極大地提高A的可信度”，這種思維合理嗎？

4. 關於“如果他錯了，那我對的概率就更大了”的思維。A、B兩人被一個實際問題難住了，雙方就問題中的兩個變數的變化關係爭執不休。A認為，函式影象畫出來應該是一個開口朝上的二次函式；B則認為，函式影象應該是一個正弦函式。注意到一個有趣的事實：這兩種猜測滿足矛盾率，但不滿足排中率。就是說，有可能A和B都錯了，但是A和B不可能都對。緊接著他們發現，這個函式存在至少一個極大值，A的猜測顯然是錯的。雖然這並不能表明B的猜測就是對的，但我們能不能說B猜對的概率變大了？








    下面的內容是G.Pólya的Mathematics and Plausible Reasoning Vol 2裡的精華：用概率來分析合情推理模式。我們可以用概率知識來描述上面這些合乎情理的推測。如果你還不知道什麼叫做條件概率，建議你先看一看這篇文章。
    注意到P(A)*P(B|A)永遠等於P(B)*P(A|B)，它們都等於P(A∩B)。如果B是A的一個推論，那麼有P(B|A)=1（若A為真則B必為真）。於是我們有P(A)=P(B)*P(A|B)。這裡，P(A|B)有一個形象的意義：結論B的證實可以使我們對A的信任改變多少。假如P(A|B)不變，則如果等式右邊的P(B)增加了，P(A)也會增加。這也就說明了我們的第一個合情推理模式：對猜想的一個結論更加信任，對猜想本身也更加信任。
    這個式子還能告訴我們更多的東西。把P(B)除過去，我們有P(A|B)=P(A)/P(B)，其中等式左邊的P(A|B)表示的仍然是證實了B以後A為真的概率，也就是驗證B結論的價值。我們很清楚地看到，P(B)處於分母的位置。那麼，結論B本身為真的概率越小，證實了B後對A的影響也就越大。
    注意P(B)=P(A∩B)+P(～A∩B)=P(A)*P(B|A)+P(～A)*P(B|～A)，而B是A的一個結論，即P(B|A)=1。於是，等號右邊變為P(A)+[1-P(A)]*P(B|～A)。利用前面的結論，我們用P(A)/P(A|B)代替等式左邊的P(B)，則有P(A|B)=P(A)/[P(A)+[1-P(A)]*P(B|～A)]。可以看到，如果P(B|～A)越小，則P(A|B)越大。這就是說，在沒有A的前提下B成立可能性越小，證實了B之後A為真的可能性就越大。
    最後，我們看一看A和B不相容的情況。此時，P(A∩B)=0，於是
P(A) = P(A∩B) + P(A∩～B)
      = P(A∩～B)
      = P(～B) * P(A|～B)
      = [1-P(B)] * P(A|～B)
    把1-P(B)除過去，就有P(A|～B)=P(A)/[1-P(B)]，顯然P(A|～B)是大於P(A)的，也即排除了B的猜測後A對的可能性比原來更高了。我們還可以清楚地看到，如果我們之前越相信B，則B被駁倒後A正確的可能性提高得就越多。