問題：已知${ x^{2}+y^{2}-xy=3 }$，求${ x+y }$的最大值？
解法1（萬能k法）：設${ k=x+y }$，則${ x = k-y }$，可知：
$${ \left( k-y \right)^{2}+y^{2}-\left( k-y \right)y=3 }$$
化簡：
$${ 3y^{2}-3ky+\left( k^{2}-3 \right)=0 }$$
這是已知條件，${ y }$必定有解。所以根據一元二次方程根判別式得：
$${ \begin{align*} \Delta=\left( -3k \right)^{2}-12\left( k^{2}-3 \right) &\geqslant 0 \\ k^{2} &\leqslant 12 \end{align*} }$$
可知：
$${ k \leqslant 2\sqrt{3} }$$
解法2（萬能p法）：設${ p=x+y }$，可得：
$${ p^{2}-3xy=3 }$$
由基本不等式知${ p^{2}=\left( x+y \right)^{2} \geqslant 4xy }$，所以：
$${ \begin{align*} p^{2}-\frac{3}{4}p^{2} &\leqslant 3 \\ p^{2} &\leqslant 12 \end{align*} }$$
可知：
$${ p \leqslant 2\sqrt{3} }$$
解法3（三角換元法）：此式是橢圓方程，先把等式整理成完全平方的形式：
$${ \left( x-\frac{y}{2} \right)^{2}+\left( \frac{\sqrt{3}y}{2} \right)^{2}=3 }$$
使用三角換元有：
$${ \left\{ \begin{array}{cl} x-\frac{y}{2}=\sqrt{3}\text{sin}t \\ \frac{\sqrt{3}y}{2}=\sqrt{3}\text{cos}t \end{array} \right. }$$
解之得：
$${ \left\{ \begin{array}{cl} x=\text{cos}t+\sqrt{3}\text{sin}t \\ y=2\text{cos}t \end{array} \right. }$$
根據三角函式公式${ A\text{sin}x+B\text{cos}x = \sqrt{A^2+B^2} \cdot \text{sin}(x+\varphi) }$，其中${ \text{tan}\varphi=\frac{B}{A} }$化簡可得：
$${ \begin{align*} x+y&=3\text{cos}t+\sqrt{3}\text{sin}t \\ &=2\sqrt{3} \cdot \text{sin}(t+\varphi) \end{align*} }$$
可知：
$${ x+y \leqslant 2\sqrt{3} }$$