趣題：鴿籠原理的應用 IMO 2001 Problem #3

    IMO 2001第三題：21個女生和21個男生一起參加了一場數學競賽。結果顯示，每個參賽者最多做對了6道題，並且對於任一對男生和女生，至少有一道他們都做對了的題。
    求證：存在這樣的一道題，至少有三個女生和三個男生同時做對。

    當然，這個題目背景無趣而又生硬。如果是我的話，我肯定會把題目改成下面這個樣子：21個女生和21個男生參加速配遊戲，每個人獨立地在自己的紙上寫下不超過6種興趣愛好。結果顯示，對於任一對男女，他們都寫下了至少一個相同的愛好。求證，存在某一個興趣愛好，有至少三男三女都把它寫上了。
























    我是一個忠實於原題的好娃娃，因此還是用數學競賽來當題目背景。對於每個問題，如果有至少3個男生答對了，就給這個問題新增一個標記“B”；如果有至少3個女生答對了，就給這個問題新增一個標記“G”。然後我們畫一張21x21的表格，橫行代表男生，縱列代表女生。每一個格子都代表一道對應的男女同時做對的題（不同的格子可能對應相同的題目），我們把對應的題目的“B”、“G”標記填進格子裡。
    下面我們說明，每一橫行裡至少有11個格子標了“G”，每一個縱列裡至少有11個格子標了“B”。考慮某一個特定的人，他（她）與每一個異性參賽者都有同時答對的題目，但他（她）自己最多隻做出6道題。這6道題目需要“分配”給21個異性參賽者。我們希望知道最多有多少道題被不超過2個異性參賽者答對。顯然，最極端的情況就是其中的5道題目每道分別被2個異性做對，剩下的第6道題被其餘11個異性做對。反過來這也就是被至少三個人答對的題目最少的情況，因此每一行（列）裡都有至少11個格子標有異性的標記。
    這樣，我們就有了至少21*11個標有“G”的格子，和至少21*11個標有“B”的格子。但21*11*2 > 21*21，因此總有一個格子被同時標上了“G”和“B”。

來源：http://www.cut-the-knot.org/pigeonhole/BoysGirlsProblems.shtml