趣題：構造遊戲初始狀態使得後行者必勝

    考慮這樣一個雙人對弈遊戲：在一個8x8的方陣裡分別填上1-64這64個正整數。然後A和B兩個人輪流在格子中取數，A先取，B後取。取數的規則很簡單：取過的數不能夠再取，並且除了第一次以外，以後每次取的數必須與某個已經取過的格子相鄰。所有數都取完後，所取數之和最大的人獲勝。
    很顯然，這個遊戲對於A更有利一些。我們可以輕易構造一個初始狀態，使得先取的人必勝。考慮A的這樣一個策略：總是取能取的數中最大的一個。如果每次A都可以取走整個棋盤中最大的那個數，那A就贏定了（因為每次B接下來取的數都比A小）。這樣的初始狀態是很容易構造出來的，比如我們只需要從左往右從上至下依次填入這64個數就可以了，這可以保證如果從n到64的所有數都取走了，則n-1也可以被取走。
    現在的問題是，能否構造一個初始狀態，使得後取的人有必勝策略？提示，解決這道題需要有超強的“整人”能力。你得想出足夠多的壞點子才能找到弄死先行者的方法。你的心腸壞到足以解決這個問題嗎？



































  
    解決問題的關鍵在於，我們要給A埋下“陷阱”。考慮這樣一種區域性構造：奇數個大數彼此相連，這些大數週圍一圈全是小數。上圖就是這樣一個陷阱，鑽石代表大數，其餘黃色的格子都是小數。只要A踩進了某個黃色格子，他就中計了：B和A開始輪流取大數，但大數只有奇數個，因此B獲得的大數比A多一個。為了讓事情變得更簡單，我們只考慮最簡單的一種陷阱：只有一個大數，周圍的鄰格都是小數。我們還有幾個難點：萬一A一開始就把陷阱內的鑽石取走咋辦，又如何避免自己不會掉進陷阱，還有我們必須保證B從這些陷阱裡賺到的足以彌補在其它地方虧的。要想有足夠多的陷阱對A起作用，我們得布上至少三個陷阱，這樣A可以在最能賺的陷阱裡開局，但無法避免落入另外兩個陷阱。為了保證自己不會掉進陷阱，我們可以把棋盤的其餘部分劃分為多米諾骨牌（一個個1x2的小長方形），這樣的話不管A取哪一個格子，B總可以取對應的另一個格子，不會踩到陷阱。於是我們想到了下面的這個構造：

    

    我們在四個陷阱裡分別填上1-2-3-61，4-5-6-62，7-8-9-63，10-11-12-64這四組數，每個多米諾骨牌裡填上兩個相鄰的數。這樣的話，A的最好策略就是從第一個陷阱裡開始取數。他能從第一個陷阱裡賺到(61+2)-(1+3)=59分，但他在其它陷阱裡將分別丟掉(62+4)-(5+6)=55分、(63+7)-(8+9)=53分、(64+10)-(11+12)=51分。而多米諾骨牌一共只有24個，他最多隻能撿24分回來，這是遠遠不夠的。因此，先取者必輸無疑。

參考資料：http://www.brand.site.co.il/riddles/200802q.html