幾道經典的幾何作圖趣題

    這段時間的古代漢語課和現代文學史課的時間利用得很好，我已經看完了Mathematics and Plausible Reasoning Vol.II和How to Solve It，並且已經讀完了What is Mathematics的第一章。前面兩本書主要是對數學思維方法的系統研究，有趣的新鮮東西並不太多。書裡拿了幾道比較經典的幾何作圖問題當作例題，比較有意思，在這裡與大家分享一下。

1. 順次給出四條邊a, b, c, d以及對邊a與c的夾角α，作一個四邊形；
2. 給你一個三角形，作出一個內接於此三角形的正方形（正方形的四個頂點都落在三角形的邊上）；
3. 已知三角形的一個角α，這個角所對的邊的高h，以及這個三角形的周長p。求作這個三角形。




























  
1. 順次給出四條邊a, b, c, d以及對邊a與c的夾角α，作一個四邊形：先作出△ABC，其中AC=a，AB=c，兩邊夾角為α。然後分別以b和d為半徑，在B點和C點畫弧相交於D。平移AB和BD補成一個平行四邊形ABDE。四邊形AEDC即為所求。

  
2. 給你一個三角形，作出一個內接於此三角形的正方形：不妨先嚐試滿足部分條件，只讓三個點落在三角形的邊上。可以證明第四個點的軌跡是一條直線，問題迎刃而解。

  
3. 已知三角形的一個角α，這個角所對的邊的高h，以及這個三角形的周長p。求作這個三角形。這題有點難。你需要集中精力思考，那個周長應該怎麼放才合適。於是想到用作等腰三角形的方法把三條邊拼接到一條直線上去。這樣問題轉化為作一個底邊為p，對角為α/2+90°，高為h的三角形。此三角形的頂點A由一條平行於DE的直線與一段圓弧的交點所確定。這段圓弧可以這樣作：先隨便作一個滿足∠DA'E=α/2+90°的△A'DE，顯然△A'DE的外接圓上與A'同側的所有點對DE的張角均為α/2+90°，而這個外接圓的圓心就是A'D和A'E的垂直平分線的交點。找到△ADE後，AD和AE的垂直平分線與DE的交點即為點B和點C。