物理方法解決數學問題（五）：一個與橢圓有關的性質

    上一次寫這玩意兒已經是兩個月前的事了，今天突然想起這一系列的東西我還沒有寫完。和上次一樣，我們將對另一個幾何問題作出光學和力學兩種解釋。由於前面已經有了不少鋪墊，很多東西這裡就不再重複了。

  
    橢圓是平面上到給定兩點的距離之和為定值的點的集合。那兩個定點就叫做橢圓的焦點。橢圓有一個神奇的性質：選定橢圓上的任意一點P，把它和兩個焦點A、B相連，則PA和PB與橢圓在P點處的切線有相同的夾角。換句話說，PA和PB與法線的夾角相等，即入射角等於反射角。這樣的話，任意一條從A出發的光線，經過橢圓壁的反射後總會經過另一個焦點B。假如有一個餐廳是橢圓形的，你的位置恰好位於橢圓的一個焦點上。這時你突然聽到不知哪裡傳出的一男一女談情說愛的聲音，其肉麻程度不堪入耳，並且聲音格外清晰。不用怕，這是因為那對男女正好坐在另一個焦點上，他們談話的聲音再小你也聽得見，因為這些聲音經過房間牆壁的反射後全匯聚到你這裡來了。
    你可以用解析幾何證明這一結論，不過其複雜程度令人望而生畏。這是我上學期做的最噁心的一道高數題。有趣的是，這個結論用Fermat原理（光總是沿著所花時間最短的路徑傳播）來解釋的話，根本不需要運算，幾句話就說清楚了。我們需要證明這樣一個幾何命題，橢圓上一點P與焦點A、B的連線到過P點的切線的夾角相等。把過P點的切線作出來後，我們可以一眼看出這個論斷是正確的：從點A出發的光線經切線反射後過點B，則反射點一定就是點P，因為切線上所有其他的點P'都在橢圓外，折線A->P'->B都比A->P->B長。


  
    後來，我在《數學與猜想》中看到了另外一種物理證明方法，非常神奇。這個結論的正確性可以通過一個非常簡單的力學模型揭示出來。看上圖，我們在兩個焦點間連線一條長度為2a的繩子，繩子上掛一個重物。注意到重物是掛在繩子上的，繩結處P是可以活動的。顯然，P點的軌跡形成了一個橢圓。重物有不斷下落的趨勢，此時重力勢能轉化為動能；當整個力學系統靜止時，重力勢能達到最小，因此最終繩結P應該位於橢圓的最低點，該點處的切線正好是一條水平線。此時繩結P受到了三個力：重物M所產生的垂直向下的力，以及左右兩邊的繩子的拉力。由於物體保持平衡，兩個拉力的合力必須豎直向上才行。但繩子內部的張力處處相等，兩個方向上的拉力大小應該一樣；如果它們的合力豎直向上，那麼這兩個力的方向與豎直方向的夾角必然相同。於是我們得到了和上面的討論相同的結論：橢圓上的點與兩焦點的連線到法線的夾角相等。