如何用位運算實現整數的加減法

weixin_33701251發表於2016-09-28

今天刷Leecode刷到第371題：

Sum of Two Integers

Calculate the sum of two integers a and b, but you are not allowed to use the operator + and -.

Example:
Given a = 1 and b = 2, return 3.

Credits:
Special thanks to @fujiaozhu for adding this problem and creating all test cases.

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題目要求我們在不使用加減操作符的情況下得到兩個整數的和。由於減法和乘除法都是基於加法操作的，所以此題不能考慮‘+’、‘-’、‘*’、’/‘這四個操作符，我們使用位運算來得到兩個數的和。
假設a = 15， b = 9， 先把a，b轉化為二進位制，那麼a = 1111，b = 1001，二進位制的加法是逢2進1，如果兩個數的同一位的基數分別是0和1，那麼這個位上的基數為1；如果都是1，則基數為0；如果都是0，則基數為0。這種方式類似於位運算中的異或，只有兩個數字不等的時候結果才為1，那我們是不是可以直接用a ^ b來得到a + b的值呢？當然不行，當同一位上兩個基數都為1時，此時該位上的基數變為0，但是應該在它的左邊一位加1，異或運算並沒有給它加1，所以我們還得把逢2進1的那個1加進去，01 + 01 = 10，所以兩個數有一個位上的基數都是1的時候相加就類似於與運算，但是要把結果左移一位，因為它是在比它高一位的地方進1，相當於是乘以2了。於是兩個二進位制的加法就轉化成了兩部分，一部分是兩個數同一位上的基數同為1的值，這部分的值用（a & b）<<1 可以得到，另一部分的值可以用異或得到，即 a ^ b，所以 a + b = a ^ b + (a & b）<<1.
在上一例中，

(a & b)<<1 = (1111 & 1001)<<1 = 10010;
 a ^ b = 1111 ^ 1001 = 110;
 a + b = 10010 + 110 = 11000 = 24

完整的程式碼如下：

var getSum = function(a, b) {
    //注意'+'的優先順序大於'<<'，所以要先把（a & b)<<1括起來
    var s = (a ^ b) + ((a & b)<<1)
    return s 
};

異或還有一個特點就是，一個整數與0異或的結果就等於它自己，它和自己異或等於0，這個結論能幫我們解決第136題。

[Single Number][2]

Given an array of integers, every element appears twice except for one. Find that single one.

Note:
Your algorithm should have a linear runtime complexity. Could you implement it without using extra memory?

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要找出一個陣列裡唯一的那個數，這時候我們很自然就想到了異或的特點，即：

a ^ 0 = a
a ^ a = 0
a ^ b ^ a = a ^ a ^ b = 0 ^ b = b

所以這道題我們利用for迴圈將陣列裡的所有元素異或，最終得到的就是那個只出現了一次的數，程式碼如下：

var singleNumber = function(nums) {
    var result = 0
   for(var i = 0; i < nums.length; i++) {
       result = result ^ nums[i] 
   } 
   return result
};

可見有時候位運算的作用也很大呢！

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