[51nod1244]莫比烏斯函式之和

alan_cty發表於2016-07-06
函式

Description

求

∑i=lrμ(i)
\sum_{i=l}^{r}\mu(i)

l,r<=10^10

Solution

設

M(n)=∑i=1nμ(i)
M(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)

我們知道，
∑d|nμ(d)=[n=1]
\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]

那麼
1=∑i=1n∑d|iμ(d)
1=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(d)

=∑T=1n∑d|Tμ(d)
=\sum_{T=1}^{n}\sum_{d|T}\mu(d)

=∑i=1n∑d=1⌊ni⌋μ(d)
=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor{n\over i}\rfloor}\mu(d)

∑i=1nM(⌊ni⌋)
\sum_{i=1}^{n}M(\lfloor{n\over i}\rfloor)

於是，
M(n)=1−∑i=2nM(⌊ni⌋)
M(n)=1-\sum_{i=2}^{n}M(\lfloor{n\over i}\rfloor)

後面的東西可以用分塊來加速。
然後打上記憶化標記。
或者可以先預處理出一段的字首和，這樣會快一點。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define rep(i,a) for(int i=last[a];i;i=next[i])
#define N 5000000
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo=6666666;
int mu[N+5],p[N+5],cnt;
int last[mo],next[mo],v[mo];
ll t[mo],l,r;
bool bz[N+5];
void add(int x,ll y,int z) {
    t[++cnt]=y;v[cnt]=z;next[cnt]=last[x];last[x]=cnt;
}
int calc(ll x) {
    if (x<=N) return mu[x];int ans=1,k=x%mo;
    rep(i,k) if (t[i]==x) return v[i];
    for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1) r=x/(x/l),ans-=calc(x/l)*(r-l+1);
    add(k,x,ans);
    return ans;
}
int main() {
    fo(i,2,N) {
        if (!bz[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        fo(j,1,p[0]) {
            int k=i*p[j];if (k>N) break;
            bz[k]=1;if (!(i%p[j])) break;
            mu[k]=-mu[i];
        }
    }
    mu[1]=1;fo(i,1,N) mu[i]+=mu[i-1];
    scanf("%lld%lld",&l,&r);printf("%d",calc(r)-calc(l-1));
}

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