線性代數學習筆記五：相似矩陣及二次型

參考：《線性代數》同濟大學第四版

1. 向量的內積、長度及正交性

    1）向量的內積：定義；性質（4條）

    2）向量的長度：定義；性質（3條）

    3）向量的正交性：定義；規範正交基；施密特正交化；

    4）正交矩陣：定義；方陣A為正交矩陣的充要條件；性質（2條）

    5）正交變換

2. 方陣的特徵值與特徵向量

    1）定義：方陣的特徵值；方陣的對應於特徵值的特徵向量；方陣的特徵方程；

    2）方陣A的特徵值r的性質（4條）：方陣所有特徵值之和等於方陣對角元素之和；所有特徵值之積等於方陣的行列式；r*r為A*A的特徵值；A可逆，則1/r為A逆矩陣的特徵值

    3）定理2：方陣的m個特徵值各不相等，則其對應的m個特徵向量線性無關

3. 相似矩陣

    1）相似矩陣定義

    2）定理3：n階矩陣A與B相似，則A與B的特徵多項式相同，從而特徵值亦相同；推論（A與對角陣相似，則對角陣的對角元素即為A的特徵值）

    3）定理4：n階矩陣A與對角陣相似的充要條件是A有n個線性無關的特徵向量；推論（n個特徵值互不相等）

4. 對稱矩陣的對角化

    1）定理5：對稱陣的特徵值為實數

    2）定理6：對稱陣的兩特徵值不相同，則其對應的特徵向量正交

    3）定理7(對角陣)及其推論

    4）對稱陣A對角化的步驟

5. 二次型及其標準型

    1）二次型：定義；二次型的標準型；二次型的規範型；二次型與矩陣一一對應；二次型的矩陣；對稱陣的二次型；二次型的秩

    2）矩陣的合同

    3）定理8

6. 用配方法化二次型成標準型

    1）拉格朗日配方法

7.正定二次型

    1）定理9（慣性定理）

    2）正定二次型、負定二次型；對稱陣的正定、負定

    3）定理10：二次型為正定的充要條件是它的標準型的n個係數全為正；推論（對稱陣A正定充要條件A的特徵值全為正）

    4）定理11（霍爾維茨定理）：對稱陣A為正定的充要條件是A的各階主子式都為正；A為負定的充要條件是奇數階主子式為負，偶數階主子式為正