Multiple View Geometry(多檢視幾何)學習筆記（9）—無窮遠平面&絕對二次曲線

            無窮遠平面&絕對二次曲線

1.無窮遠平面

  在3維空間的射影幾何中，與l∞$l_{\mathrm{\infty }}$

和虛圓點對應的幾何實體是無窮遠平面π∞${\pi }_{\mathrm{\infty }}$和絕對二次曲線Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$。
  在3維仿射空間中,無窮遠平面的標準位置是π∞=(0,0,0,1)T${\pi }_{\mathrm{\infty }}=(0,0,0,1{)}^T$，π∞${\pi }_{\mathrm{\infty }}$包含所有方向D=(X1，X2，X3，0)T$D=(X_1，X_2，X_3，0{)}^T$並且可以用來識別仿射性質。

• 兩張平面相平行的充要條件是它們的交線在π∞${\pi }_{\mathrm{\infty }}$
  \pi _{\infty }
  上。
• 如果一條直線與另一條直線或一張平面相交在π∞${\pi }_{\mathrm{\infty }}$
  \pi _{\infty }
  上，則它們相平行。

結論 1  在射影變換H$H$

下，無窮遠平面π∞${\pi }_{\mathrm{\infty }}$是不動平面的充要條件是H$H$是一個仿射變換。

• 一般地說，在仿射變換下平面π∞${\pi }_{\mathrm{\infty }}$
  \pi _{\infty }
  是整個集合不動，而不是點點不動。
• 僅有π∞${\pi }_{\mathrm{\infty }}$
  \pi _{\infty }
  在任何仿射變換下保持不動。

2.絕對二次曲線

  絕對二次曲線Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$

是在π∞${\pi }_{\mathrm{\infty }}$上一條(點)二次曲線。在度量座標系中π∞=（0,0,0,1）T${\pi }_{\mathrm{\infty }}=（0,0,0,1{）}^T$，而在Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$上的點滿足：

結論 2  在射影變換H$H$

下， 絕對二次曲線Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$是不動二次曲線的充要條件是H$H$是相似變換。

• Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$
  \Omega _{\infty }
  在一般相似變換下是集合不動，而不是點點不動的。
• 所有的圓交Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$
  \Omega _{\infty }
  於兩點，這兩點是虛圓點。
• 所有球面交π∞${\pi }_{\mathrm{\infty }}$
  \pi _{\infty }
  於Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$
  \Omega _{\infty }
  。

度量性質

  一旦Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$

在 3 維射影空間被辨認，那麼諸如夾角和相對長度等度最性質可以被測定。
  設兩條直線的方向為 d1$d_1$和 d2$d_2$(3 維向量)，則：

正交與配極

  如果dT1Ω∞d2=0$d_1^T{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}{d}_2=0$

，則d1$d_1$和d2$d_2$相垂直。因而垂直性可由關於Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$的共軛性來表徵。

3.絕對對偶二次曲面

  絕對二次曲線Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$

的對偶是 3 維空間中一種退化的對偶二次曲面，稱為絕對對偶二次曲面並記為Q∗∞$Q_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$。從幾何上說，Q∗∞$Q_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$由Ω∞${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\infty }}$的切平面組成，它被稱為邊二次曲面。它在 3 維度量空間的標準形式是：

  絕對對偶二次曲面Q∗∞$Q_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$

是退化的二次曲面 ， 有 8 個自由度。

結論 3 在射影變換H$H$

下，絕對二次曲面Q∗∞$Q_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$不動的充要條件是H$H$是相似變換。

結論 4  無窮遠平面π∞${\pi }_{\mathrm{\infty }}$

是Q∗∞$Q_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$的零向量。

結論 5  兩張平面π1${\pi }_1$

和π2${\pi }_2$之間的夾角由下式給出：