Multiple View Geometry(多檢視幾何)學習筆記（23）—射影攝像機對二次曲面的作用&攝像機中心的重要性

      射影攝像機對二次曲面的作用&攝像機中心的重要性

1.光滑曲面的影象

定義1: 輪廓生成元Γ$\mathrm{\Gamma }$

定義為影像射線與光滑曲面S$S$的所有切點X$X$的集合。在影象上，與它對應的視在輪廓線γ$\gamma$

γ

是X$X$的影象點x$x$ 的集合，即γ$\gamma$是Γ$\mathrm{\Gamma }$的影象。

• 輪廓生成元Γ$\mathrm{\Gamma }$
  \Gamma
  僅取決於攝像機中心與曲面的相對位置，而與影象平面無關。
• 視在輪廓線γ$\gamma$
  γ
  由影象平面與輪廓生成元的射線的相交確定，因此與影象平麗的位置有關。

2.射影攝像機對二次曲面的作用

二次曲面的正向投影

結論1  在攝像機矩陣P$P$

的作用下， 二次曲面Q$Q$的外形線是下式給定的一條二次曲線C$C$:

• 與二次曲面Q$Q$
  Q
  和中心為C$C$
  C
  的攝像機相對應的輪廓生成元Γ$\mathrm{\Gamma }$
  \Gamma
  的平面是πΓ=QC${\pi }_{\mathrm{\Gamma }}=QC$
  \pi _{\Gamma }=QC

結論2 頂點為V$V$

並與二次曲面Q$Q$相切的錐面是一個退化的二次曲面

3.攝像機中心的重要性

  3 維空間的物體和攝像機中心確定了一個射線集合，而這些射線與一張平面的交就產生該物體的影象，這個集合通常稱為射線錐。
  假如射線錐與兩張平面相交，那麼所得兩幅影象I$I$

和I′$I^{\prime }$顯然以一個透視對映相關聯。因為攝像機有共同的中心，從而由這兩個攝像機產生的3維空間點X$X$ 的影象點之問的關係如下:

  對應的影象點以一個形如x′=Hx$x^{\prime }=Hx$的平面單應(3 x 3矩陣)相關聯，其中H=(K′R′)(KR)−1$H=(K^{\prime }{R}^{\prime })(KR{)}^{-1}$

3.1移動影象平面

  考慮焦距增加的情況，在一階近似的精度下，它相當於影象平面沿主軸移動。
  因子k=f′/f$k=f^{\prime }/f$

的變焦效果等於用diag(k,k,1)$diag(k,k,1)$右乘攝像機標定矩陣K$K$。

3.2攝像機旋轉

  攝像機在不改變它的內部引數的情況下繞它的中心旋轉。如果點X$X$

在純旋轉前和後的影象是x$x$和x′$x^{\prime }$，那麼:

  因此，x′=Hx$x^{\prime }=Hx$,其中H=KRK−1$H=KR{K}^{-1}$這種單應是一個共軛旋轉。

3.3應用與舉例

3.3.1檢視合成

  可以對現有的影象進行平面單應性的形變插補來產生新的影象，新的影象對應於不同的攝像機定向(但攝像機中心相同)。

• 計算把影象中的四邊形對映回具有正確長寬比矩形的單應H$H$
  H
  。
• 用這個單應對原影象進行射影形變插補。

3.3.2平面全景拼圖

  攝像機繞其中心旋轉所得到的一組影象之間以一個平面單應相關聯。這樣的一組影象可以通過射影形變插補與其中一幅影象的平面配準。

• 選擇影象集合中的一幅作為參考影象。
• 在其餘的影象中選一幅影象，計算把它對映到參考影象的單應H$H$
  H
  。
• 用得到的單應對這幅影象進行射影形變插補，並且用插補影象與參考影象的非重疊部分來擴大參考影象。
• 對影象集合中餘下的影象重複上述最後兩步過程。

3.4(簡化的)射影記號

  如果世界和影象點都選擇規範的射影座標那麼攝像機矩陣：

  滿足xi=PXi$x_i=P{X}_i$

和P(a−1,b−1,c−1,d−1)T=0$P(a^{-1},b^{-1},c^{-1},d^{-1}{)}^T=0$,後者表示攝像機中心是C=(a−1,b−1,c−1,d−1)T$C=(a^{-1},b^{-1},c^{-1},d^{-1}{)}^T$

3.5移動攝像機中心

在第一幅檢視中重合的兩個3維空間點.郎在同一射線上的點。如果攝像機中心被移動了(沒有沿著這條射線) ，那麼其影象就不再重合了。原來是重合的影象點之間的相對位移稱為視差。