長尾理論的數學分析：真的徹底顛覆了二八法則？

隨著中信出版社引進出版 的《長尾理論》，關於這一Web 2.0以來最重要的概念又被大家如火如荼地炒作起來。概念是模糊的，科學是嚴謹的。雖然我之前就某些問題質疑過長尾理論，本文試圖通過數學方法來看看長尾理論是否真的徹底顛覆了二八法則？

長尾理論通常使用左邊這張長尾曲線圖來解釋，頭部是大熱門，流行度曲線陡然下墜，但一直沒有到零點。這個長長尾巴的價值就是長尾理論通篇講述的核心。

《長尾理論》書中第110頁中講到“長尾就是一種冪率(power-law)曲線”，學過中學數學的都知道，冪率曲線就是類似f(x)=c/x的曲線，其中c為常量。大家看看確實和Chris Anderson描述的長尾曲線一模一樣。

有了這個前提，我們來看看長尾理論是否真的徹底顛覆了二八法則？首先，瞭解一下“二八法則”，“二八法則”又稱“帕累托法則”，是義大利經濟學家帕累託在19世紀末發現的經濟規律，他發現在經濟活動中，少數群體顯得更為重要，比如：20%的人口掌握80%的財富、20%的產品產生80%的銷售額等等。因此這個法則也稱為“重要少數法則”。

我們在任何一個地方截斷長尾，比如x=5n的地方，這時候20%多數是x=n之前的部分。2個部分的總量分別是：

總量 = c+c/2+c/3+c/4+...+c/5n
頭部 = c+c/2+c/3+c/4+...+c/n

很顯然，這2個部分構成都是數學中最常見的調合級數，我們知道調合級數是發散的。如何估算(1)和(2)的值並進而計算它們的比例呢？幸好著名的數學家Euler證明了

1+1/2+1/3+1/4+...+1/n = ln(n+1)+r

其中r是一個常量，現在稱為Euler常數，約為0.577218。這樣，我們就得到長尾理論環境(豐饒經濟)下，20%的頭部所佔的比例基本為：

頭部/總量 = (ln(n)+r) / (ln(5n)+r) = (ln(n)+r) / (ln(n)+ln5+r)

因為ln(n)是發散的，所以當n越來越大的時候，這個比率越來越接近於100%。形象一點，我們來計算幾個值：

n	20%的頭部比例
100	75.3%
1000	82.3%
10000	85.9%

所以從數學計算上來說，長尾理論依然沒有擺脫“重要少數法則”。

 

其實Chris Anderson也承認：“真正的80/20法則只是承認帕累託分佈的有效性，承認某些東西賣得遠比其他東西要好，這在長尾市場和傳統市場中都是成立的。”所以，長尾理論徹底顛覆了二八法則是沒有根據的。

長尾理論不是顛覆性的概念，更多地是指導我們在豐饒經濟的條件下，尋找合適的長尾市場，開拓新的銷售渠道。所以Chris Anderson也重點談到“即使有二八法則的統治，在豐饒經濟環境下，我們也沒有理由不去經營其它的80%產品”。或許，這就是對長尾理論最深刻的註解。

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數學小知識：尤拉常數的由來

對於今天我們稱為調和級數的

1+1/2+1/3+1/4+...

很早就有數學家研究，比如中世紀後期的數學家Oresme在1360年就證明了這個級數是發散的。他的方法很簡單：

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意後一個級數每一項對應的分數都小數調合級數中每一項，而且後面級數的括號中的數值和都為1/2，這樣的1/2有無窮多個，所以後一個級數是趨向無窮大的，進而調合級數也是發散的。

 

隨後很長一段時間，人們無法使用公式去逼近調合級數，直到無窮級數理論逐步成熟。1665年Newton(牛頓)在他的著名著作《流數法》中推匯出第一個冪級數：

ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ...

 

Euler(尤拉)在1734年，利用Newton的成果，首先獲得了調和級數有限多項和的值。結果是：

1+1/2+1/3+1/4+...+1/n = ln(n)+r (r為常量)

他的證明是這樣的：
根據Newton的冪級數有：

ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x² + 1/3x³ - ...

於是：

1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x² - 1/3x³ + ...

代入x=1,2,...,n，就給出：

1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n² - 1/3n³ + ...

相加，就得到：

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n²) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n³) + ......

後面那一串和都是收斂的，我們可以定義

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r

Euler近似地計算了r的值，約為0.577218。這個數字就是後來稱作的尤拉常數。不過遺憾的是，我們對這個常量還知之甚少，連這個數是有理數還是無理數都還是個謎。