高等幾何——周興和答案1（自己寫的，非標準答案，望指正）

一動不動的蔥頭發表於2015-02-10

第一章射影平面

習題 1.1

解答：影消線對映無窮遠點（這是根據無窮遠點的定義），故p'和q'交點將是無窮遠點，即，p'//q'

解答：根據1中的啟示，要使pi'平面上圖形為平行四邊形，則需pi平面的兩對對邊的交點都交於影消線上。因此，做圖時，pi平面連線兩對對邊，得到兩個交點，連線交點獲得影消線，由影消線，根據平行，可得到pi‘平面...

解答：0度。顯然P'，Q'兩點在無窮遠點,P'R'和Q’R‘交於R‘，射影平面無窮遠點和有窮遠點地位相當。將P‘，Q’兩點視為有窮點，則相對而言，R‘為無窮遠點。如此，P’R‘，Q‘R’交於無窮遠點，即平行（我們仍保留這個概念，易於理解）。故為0度。

解答：分兩種情況討論：

（1）平面pi和平面pi‘平行

此時，很容易知道無論投影中心O在何處，投影在pi’上可能的直線平行，當然也交於定點（無窮遠點）

（2）平面pi和平面pi‘不平行：

i 直線p平行於pi‘平面

此時，很容易知道無論投影中心O在何處，投影在pi’上可能的直線平行，當然也交於定點（無窮遠點）

ii 直線p不平行與pi‘平面

不平行則必交於pi’平面。交點可不是一般的點，它是不變點，又稱自對應點，顯然也符合條件

解答：根據射影結合性（點在直線上，直線上取點...）.不保持平行性。

（1）三角形

（2）三角形

（3）四邊形

（4）四邊形

（5）橢圓形（這個以後會講的，憑感覺吧，這裡，那個什麼交比不變，雙線性方程不變，得到的解仍是橢圓型）

（6）二次曲線

（7）六邊形

（8）相交直線

（9）相交直線

（10）點列或線束

略

習題 1.2

解答：

(1)（2t,0,t）,(2,0,1)

(t,3t,t),(1,3,1)

(4t,t,t),(4,1,1)

(5/3t,2t,t),(5/3,2,1)

(2) 根據（1，r，0），有

（1，3／4，0）

(3) 斜率為-3，根據(1,r,0)，有

（1，-3，0）

解答：

P（-2，-4），Q（sqrt(10)／2，-sqrt（6）／2），R無非齊次座標，S（0，4／3），T無，U（1／4，0）

解答：不考慮重複2＊2＊2=8，實際兩個是一個8／2=4種，列之如下：

（1，1，1），（1，1，-1），（1，-1，1），（-1，1，1）

解答：一般方程u1*x1+u2*x2+u3*x3=0,(實在是記憶不好，可以湊嘛)，直線寫成[u1,u2,u3]

(1)[0,1,0]

(2)[1,0,0]

(3)[0,0,1]

(4)[1,-2,-3]

(5)[1,2,0]

(6)[x1,x2,x3; 0,1,0;1,0,1]=0，化簡得

x1-x3=0

解答：過原點的直線和無窮直線沒有“非齊次線座標”（注意“線”字）。區分“齊次點座標”，“齊次線座標”，“點的齊次方程”，“線的齊次方程”。點座標，顧名思義指以點為基本元素組成的座標。線座標，顧名思義指以線為基本元素組成的座標。點的齊次方程，顯然是線上座標下才會用“方程”這種說法。線的齊次方程，顯然是在點座標下才有“方程”這種說法。

線座標這個概念是新的，線上座標下，如果非得用非齊次座標表示，它有兩個缺陷，一、不能表示過原點的直線二、不能表示在無窮直線的點。實際上，這並不奇怪。和它對稱的是，在點座標下，如果用非齊次座標，它相應有兩個缺陷：一、不能表示原點二、不能表示無窮直線。附上：