一種方便的證明莫比烏斯函式的方法

The_Unbeatable發表於2017-07-15
函式

一種方便的證明莫比烏斯函數的方法

一種方便的證明莫比烏斯函式的方法

設有 f=g∗1

設有\ f = g * 1

兩側都卷上μ, 得：μ∗f=g∗1∗μ

兩側都捲上\mu,\ 得：\mu * f = g * 1 * \mu

μ∗1=ϵ

\mu *1 = \epsilon

所以g∗1∗μ=g∗ϵ=∑d|ng (d)×ϵ (nd)=g(n)×ϵ(1)=g(n)

所以 g * 1 * \mu = g * \epsilon = \sum_{d|n} {g \ (d) \times \epsilon \ ({n \over d})} = g(n) \times \epsilon(1) = g(n)

故 μ∗f=g

故 \ \mu * f = g

然後反過來再證：兩邊卷上1: g∗1=μ∗f∗1=ϵ∗f=f

然後反過來再證：兩邊捲上1 : \ g * 1 = \mu * f * 1 = \epsilon * f = f

Q.E.D.

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