【機器學習】【base】 之 目標函式 損失函式 優化演算法

tobeyourlover發表於2016-08-30
機器學習函式優化演算法

目錄

機器學習的核心是一個模型，一個損失函式loss fuction(由目標函式得出)，加上一個優化演算法。一個損失函式可以用不同的優化演算法，不同的損失函式也可以用相同的優化演算法。

目標函式定義

最大似然（MLE），最大後驗（MAP）都是構造目標函式的方法，是引數估計的方法之一。

最大似然方法

最大似然估計，只是一種概率論在統計學的應用，它是引數估計的方法之一。說的是已知某個隨機樣本滿足某種概率分佈，但是其中具體的引數不清楚，引數估計就是通過若干次試驗，觀察其結果，利用結果推出引數的大概值。最大似然估計是建立在這樣的思想上：已知某個引數能使這個樣本出現的概率最大，我們當然不會再去選擇其他小概率的樣本，所以乾脆就把這個引數作為估計的真實值。
求最大似然函式估計值的一般步驟：
（1） 寫出似然函式
（2） 對似然函式取對數，並整理
（3） 求導數
（4） 解似然方程

對於線性迴歸問題，它的模型是p(y|x)=N(wTx,σ2)

p(y|x) = N(w^Tx, \sigma^2)
，我們採用最大似然來構造一個目標函式。
此時線性迴歸的loss function是”最小二乘公式”。
最後用梯度下降來找到目標函式的最值。當然，對於這個問題，我們也可以不用梯度下降，直接用向量的投影來直接算出最優解的表示式。即“最小二乘法”。
ps：最小二乘法是一種演算法，最小二乘公式是一個loss function.

Logistic regression 的模型是p(y|x)=Ber(y|sigm(wTx))

p(y|x)=Ber(y|sigm(w^Tx))
，Ber是伯努利分佈，sigm是logistic sigmoid函式，我們採用最大似然來構造一個目標函式。
此時Logistic regression的loss function是交叉熵.
與之前的問題不同，這個目標函式比較複雜，是無法像線性迴歸那樣一步直接算出最終的解的，但是，這個目標函式是凸的，所以我們依然能用梯度下降或者牛頓法來來找到它的最優解。

因為各自的響應變數服從不同的概率分佈。在Linear Regression中，前提假設y

y
是服從正態分佈。而Logistic中的y
y
是服從二項分佈的(為什麼不服從正態？因為非0即1啊！)，因而，在用極大似然估計計算時，所得到的cost function自然是不一樣的。

嶺迴歸是給引數 w 加上一個高斯的先驗分佈，並用最大後驗來構造目標函式，那麼，這就相當於給目標函式加上一個L2正則項。如果我們給引數 w 加上一個拉普拉斯的先驗分佈，那麼我們可以讓 w 變得更加稀疏。我們還可以接著往下走，利用後驗分佈來進行模型平均（model averaging），得到更加完整的貝葉斯方法，

最優化演算法

優化方法中，有一類是使用函式的梯度資訊，包括一階的方法，例如梯度下降、最小二乘法都是通過求導來求損失函式的最小值, 使得估算值與實際值的總平方差儘量更小；以及二階的方法，例如牛頓法等。當然，還有和梯度無關的方法，例如 fixed point iteration，座標下降等

最小二乘

最小二乘可以由高斯噪聲假設+極大似然估計推匯出來
最小二乘法是直接對Δ

\Delta
求導找出全域性最小，是非迭代法。

梯度下降

而梯度下降法是一種迭代法，先給定一個β

\beta
，然後向Δ
\Delta
下降最快的方向調整β
\beta
，在若干次迭代之後找到區域性最小。梯度下降法的缺點是到最小點的時候收斂速度變慢，並且對初始點的選擇極為敏感，其改進大多是在這兩方面下功夫。

參考文件：

https://www.zhihu.com/question/24900876

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