小波變換在數字影象上的應用（上）

小波變換原理的簡單概述

一維小波變換

• 關於一維連續小波和離散小波變換的公式只能抱書啃了，這裡給出一張圖展示小包變換分析的一些特點。
  
• 第一幅圖是原始訊號，其右側是它的傅立葉譜，由傅立葉譜我們可以知道原始訊號存在兩個頻率峰值。但是關於這兩個頻率峰值出現的時間卻無法得知。
• 也許你覺得短時傅立葉變換可以解決這個問題，實際上關於STFT窗寬的選擇存在一個矛盾。選擇的框太寬時間解析度差，選擇的框太窄頻率解析度就差。
• 而通過上圖下面兩張小波變換得到的譜圖，我們可以得到非常準確的空間域和頻率域的資訊。

FWT

• 快速小波變換的過程可以表示為下圖所示。
  

  • 根據FWT的公式所知，求小波係數，實際上是求一個非負的偶數項的卷積，而非負的偶數項求卷積等價於濾波和基2下取樣。
  • 這個過程如上圖所示，可求得一個近似分量（低通）和一個高通。再對這個低通求一個尺度的濾波和下采樣，可再次求得一個低通和一個高通。經此兩過程求得的頻率成分對應於上圖下側。

二維快速小波變換

• 小波變換擴充套件到二維和傅立葉變換擴充套件到二維有些類似，除了產生一個二維的尺度函式還產生了三個方向敏感的小波（分別是水平，垂直，和對角線）。
• 二維的快速小波變換和逆變換過程也可以表示為下圖。
  
• 上圖最上側最後得到的四個分量依次是對角線細節分量，垂直細節分量，水平細節分量和近似分量。

小波包

• 根據以上分析我們知道，FWT的分解是多樣的。那麼如何分解才能夠具有一個比較好的效果呢？這時候就需要介紹小波包。

• 小波包類似一個二叉樹。下圖展示了一個三尺度的小波包。
  

• 下圖展示經此小波包分解的過程及最終得到的頻率分離特性。
  

• 最後，展示一副指紋影象經過小波包分解的效果。