Divide Two Integers不使用乘除法來計算兩個數相除

• 題目描述
  

• 分析
  不使用乘除法來計算兩個數相除，那就從除法的定義出發：商表示的是被除數裡包含了多少個除數。那最直接的一種辦法，就是迴圈減除數，累加次數，直到不能再減。這麼粗暴的辦法，很容易會超時，舉個極端的例子，若被除數是INT_MAX即2147483647，除數是1，那麼就得減2147483647次，程式才能執行結束。

  所以，我們應該每次減多一點，我第一想到的便是位操作。因為，位操作可以看成是特殊的乘除法，如向左移一位，便是翻倍（即乘2）；向右移一位，便是減半（即除2）。舉個簡單的例子來對照看，3的二進位制是11，6的二進位制是110，12的二進位制是1100，…

  所以，

  核心思想：
  被除數
  =除數商*
  =除數（2^0 * q0 + 2^1 q1 + 2^2 *q2 + 2^3*q3 + ….. + 2^n*qn）
  其中，q0~qn的取值要麼為1，要麼為0.

  舉例1，
  75
  =5*15
  =5*(2^0 *1 + 2^1 *1 + 2^2 *1 + 2^3*1)

  舉例2，
  15
  =3*5
  =3*（2^0 *1 + 2^1 *0 + 2^2 *1）

  程式碼的編寫思路如下，
  1、確定n值。
  每次翻倍的累加除數（1，2，4，8，16,…倍），看直到多少倍（n），除數會大於被除數，同時記下除數被累加的次數和當前的移位數（即倍數）。
  2、確定q0~q(n-1)的值，確認是0還是1，同時更新累加次數
  3、根據除數和被除數的符號，確定商的符號

• 程式碼實現

int divide(int dividend, int divisor) {
    //溢位判定
    if(divisor==0 || (dividend==INT_MIN && divisor==-1))
        return INT_MAX;

    //符號確定
    bool sign=0;
    if((dividend>0&&divisor>0)||(dividend<0&&divisor<0)){
       sign=1;
    }

    long ldividend=labs(dividend);
    long div=labs(divisor);
    long count=1;
    int bits=0;  //bits為移的位數

    //確定指數級翻倍的最大翻倍數（多項式的次數）
    while(div<=ldividend){
       count=count<<1;
       div=div<<1;
       bits++;
    }
    div=div>>1;
    bits--;
    count=count>>1;

    //確定多項式形式的其他位的值（是1還是0）
    int i;
    long copyd;
    for(i=bits-1;i>=0;i--){
        copyd=labs(divisor);
        div=div+(copyd<<i);    //<<的優先順序小於+，要加括號
        //除數可以再加上copyd<<i，也即可以再累加上1<<i次
        if(div<=ldividend){
            count=count+(1<<i);
        }
        //不能加，嘗試失敗，除數的值還原到剛才未加時候的值
        else{
            copyd=labs(divisor);
            div=div-(copyd<<i);
        }
    }

    if(sign)
        return count;
    else
        return -count;
}

• 遺留現象
  1、上述程式碼是在以C++的形式下通過的，若以C的形式是過不了的。

  2、另外一個奇怪的現象是，上述程式碼在eclipse上執行，有些測試集的結果會和leetcode執行的不一樣。
  圖1：leetcode程式設計環境下的測試截圖

  
  圖2：eclipse C++的測試截圖

  圖1和圖2使用的是相同的程式碼，見上文。然而測試結果不一樣。在eclipse中debug會發現，即使是使用labs或者fabs先強制轉換型別後來取絕對值（long temp=(long)dividend; long ldividend=labs(temp);），並使用long或double型來儲存，-2147483648的絕對值依然是-2147483648，這也就是造成結果不對的原因。那為什麼在leetcode的程式設計環境下執行就不會出現這種問題呢？我暫時還不清楚，知道的親歡迎留言告訴我。

• 後續
  在文章的開頭，我說到直接單純的一次一次的累加，可能會超時。那如果減少一半的累加次數，還會超時嗎？於是我便寫了下面的程式碼，與上文程式碼不同的地方是在確定指數級翻倍的最大翻倍數之後，採取的是簡單的逐次迴圈累加統計次數。

  下面的程式碼提交，就有時候會Accept，有時候會提示Time limit Exceeded。所以，最好還是用上文程式碼的方法，一定不會超時。

class Solution
{
public:
    int divide(int dividend, int divisor) {
    if(divisor==0 || (dividend==INT_MIN && divisor==-1))
        return INT_MAX;

    bool sign=0;
    if((dividend>0&&divisor>0)||(dividend<0&&divisor<0)){
       sign=1;
    }

    long ldividend=labs(dividend);
    long div=labs(divisor);
    long count=1;
    int bits=0;  //bits為移的位數

    if(div>ldividend)
        return 0;

    while(div<=ldividend){
       count=count<<1;
       div=div<<1;
       bits++;
    }

    div=div>>1;
    bits--;
    count=count>>1;

    long copyd=labs(divisor);;
    while(div<=ldividend){
       div=div+copyd;
       count++;
    }
    if(div!=ldividend)
        count--;

    if(sign)
        return count;
    else
        return -count;
}

};