基於演化博弈資料利用壓縮感知方法進行網路重構

_席達_發表於2017-05-09

0. background

在工程和科學的許多領域，我們經常會遇到的問題是，目標網路是由聯網的元素（節點）組成的，但是節點之間的相互作用或者說網路的拓撲結構是完全未知的。在這種情況下，我們利用基於時間序列從實驗和觀測中得到的資料中來重構網路的拓撲就是有價值和經濟利益的。這就需要我們瞭解未知網路的動態演化過程或者需要大量連續時間上的振盪訊號。但是對於社會，經濟和生物科學網路來說，他們的節點之間的相互作用是基於演化博弈的。除了資料的離散性，可用的資料往往是稀疏的，並且可用的資料量是少的。

1. 基於壓縮感知方法使用演化博弈資料來重構網路拓撲結構的一般性方法（框架）
壓縮感知是針對稀疏訊號重構的而提出的一種應用十分廣泛的正規化。利用壓縮感知重構網路的兩大優點：
(1). 小資料量要求。
(2). 可以基於連續或者是離散的訊號重構網路。
簡單的說，在博弈中參與者使用兩種不同的策略是自己獲得最大的收益。本文將證明即使有關參與者策略和收益的資訊是有限的，我們使用基於壓縮感知的方法仍然可以高效的得到網路的拓撲結構。

2. 演化博弈

2.1

在傳統博弈理論中，常常假定參與人是完全理性的，且參與人在完全資訊條件下進行的，但對現實的經濟生活中的參與人來講，參與人的完全理性與完全資訊的條件是很難實現的。與傳統博弈理論不同，演化博弈理論並不要求參與人是完全理性的，也不要求完全資訊的條件。

2.2

(1).在演化博弈的任一時刻，一個參與者可以選擇兩種策略(S)之一：合作(C)或者背叛(D)。

(2).參與者的收益取決於彼此選擇的策略和特定的遊戲收益矩陣。

上圖表明的是小黃人的受益，即如果小黃人的策略是D（背板）小紅人的策略是C（合作），那麼小黃人的受益是T；如果小黃人的策略是D（背板）小紅人的策略是D，那麼小黃人的受益是P。

(3).參與者收益g的計算公式：g_i = S_i^TPS_j。其中P是收益矩陣，S_i和S_j分別是參與者i和參與者j的策略。

note：每種博弈的收益矩陣是不同的。

那麼參與者i和j的受益的計算方法如下：

(4).在每一個時間步，參與者與他們的所有鄰居進行一輪博弈並且獲得收益，參與者 i 的收益為:

(5).為了最大化在下一輪中的收益，參與者會通過比較與鄰居參與者的收益來升級自己的策略。
這裡使用費米方程來模擬參與者的有限理性。w(S_i<--S_j )表示參與者 i 隨機的選擇一個鄰居 j 之後，以概率w採取 j 的策略。費米方程如下：

其中，

k=0時表示參與者是絕對理性的。這個時候當鄰居 j 的受益大於自己的受益的時，參與者 i 以 1 的概率採取參與者 j 的策略作為自己下一輪的策略。當鄰居 j 的受益小於自己的受益的時，參與者 i 以 0 的概率採取參與者 j 的策略作為自己下一輪的策略，也就是說仍然保持自己當前的策略作為下一輪博弈的策略。

k->∞時表示參與者在更新策略時是完全隨機的。

3. 壓縮感應

(1). 壓縮感知的目標是通過以下的等式，根據對X的線性測量Y來重構向量X∈R^M