Anderson《空氣動力學基礎》5th讀書筆記 第0記——白金漢PI定理

SJ2050發表於2018-06-02
筆記

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量綱分析：白金漢PI定理

相似引數

量綱分析：白金漢PI定理

    在空氣動力學中，飛機的空氣動力主要由自由來流的密度ρ∞，自由來流數V∞，翼弦長度c，自由來流的粘性係數μ∞以及音速a∞，所以假設我們可以推匯出，空氣動力大致滿足以下這個式子：R = f (ρ∞,V∞,c,μ∞,a∞)。也就是 F(ρ∞,V∞,c,μ∞,a∞,R) = 0。然而不幸的是，對於這個看著就頭大的式子，我們需要通過大量的實驗來得出他們的關係， 這是項十分龐大的工程。這是我們今天的主角登場了——白金漢PI定理。

    我們知道，對於帶單位的式子，它的每一個組成部分的單位應該都是一致的，這條定理就是基於這個條件的。我們來看看它是如何大顯神威的。在力學中，所有的物理變數都可以用質量，長度以及時間的組合來表達，也就是無論多複雜的式子，最後式子結果都得可以用這三個量綱來表示。我們先從所有變數中挑選三個引數，這三個引數必須能覆蓋質量，長度和時間的量綱，也就是\Pi _{1}^{a}\Pi _{2}^{b}\Pi _{3}^{c}（a,b,c表示未知數,那個不認識的希臘字母是引數）能夠表示出質量，長度和時間的量綱來。

對R = f (ρ∞,V∞,c,μ∞,a∞)的式子進行分解，

【PS:m是質量的量綱，l是長度量綱，t是時間的量綱。】

在這裡，我們選擇 ρ∞，V∞，c這三個引數（不妨試試用這三個參數列示質量，長度和時間），我們得到

                                               

這裡的ρ∞，V∞，c其實可以看成m，l，t，第四個引數呢就可以用前前三個引數來表示。以第一個為例，

                                                 

方程左邊為無量綱，所以方程右邊也應該是無量綱的，我們能解出d,b,e的值，我們最終得到：

                                                 

這裡c^{2}就是，面積，我們可以看成是S，即\Pi _{1} = \frac{R}{\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}S}，\Pi _{1}為空氣動力系數C_{R}。

相似引數

同理，可推出 定為自由來流雷諾數Re 。   定為自由來流馬赫數M_{\infty }。

這時F(ρ∞,V∞,c,μ∞,a∞,R) = 0就可以變成了f_{2}(\Pi _{1}\Pi _{2}\Pi _{3}) ，這時我們發現，原先有六個引數的式子只剩下了三個，大大簡化了計算。我們可以將這個式子換個形式：C_{R} = f_{6}(Re,M_{\infty })，同理我們也可以推出升力係數C_{L} = f_{7}(Re,M_{\infty })和阻力系數C_{D} = f_{8}(Re,M_{\infty })。我們發現，升力係數和阻力系數是關於Re和M_{\infty }的函式（在實際中，升力係數和阻力系數還與迎角有關，所以C_{L} = f_{9}(Re,M_{\infty },\alpha)，C_{D} = f_{10}(Re,M_{\infty },\alpha)，\alpha表示迎角。當然嘍，對於高超音速空氣動力學，我們還要考慮熱傳導係數等），只要Re和M_{\infty }相同，升力係數和阻力系數也會相同，所以我們稱Re和M_{\infty }為相似係數，即兩個來流的相似引數相同，則在不考慮翼型的情況下，升力係數和阻力系數也是相同的，這為我們可以用縮小版的模型模擬真實飛機受到的空氣動力提供了可能。

    最後，感謝白金漢同志拯救我們於眼瞎之中！

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