小鬍子哥 @Barret李靖 給我推薦了一個寫演算法刷題的地方 leetcode.com，沒有 ACM 那麼難，但題目很有趣。而且據說這些題目都來源於一些公司的面試題。好吧，解解別人公司的面試題其實很好玩，既能整理思路鍛鍊能力，又不用擔心漏題 ╮(╯▽╰)╭。
長話短說，讓我們來看一道題：
統計“1”的個數
給定一個非負整數 num，對於任意 i，0 ≤ i ≤ num，計算 i 的值對應的二進位制數中 “1” 的個數，將這些結果返回為一個陣列。
例如：
當 num = 5 時，返回值為 [0,1,1,2,1,2]。
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/** * @param {number} num * @return {number[]} */ var countBits = function(num) { //在此處實現程式碼 }; |
解題思路
這道題咋一看還挺簡單的，無非是：
- 實現一個方法
countBit，對任意非負整數 n，計算它的二進位制數中“1”的個數 - 迴圈 i 從 0 到 num，求
countBit(i)，將值放在陣列中返回。
JavaScript中，計算 countBit 可以取巧：
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function countBit(n){ return n.toString(2).replace(/0/g,"").length; } |
上面的程式碼裡，我們直接對 n 用 toString(2) 轉成二進位制表示的字串，然後去掉其中的0，剩下的就是“1”的個數。
然後，我們寫一下完整的程式：
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function countBit(n){ return n.toString(2).replace(/0/g,'').length; } function countBits(nums){ var ret = []; for(var i = 0; i <= nums; i++){ ret.push(countBit(i)); } return ret; } |
上面這種寫法十分討巧，好處是 countBit 利用 JavaScript 語言特性實現得十分簡潔，壞處是如果將來要將它改寫成其他語言的版本，就有可能懵B了，它不是很通用，而且它的效能還取決於 Number.prototype.toString(2) 和 String.prototype.replace 的實現。
所以為了追求更好的寫法，我們有必要考慮一下 countBit 的通用實現法。
我們說，求一個整數的二進位制表示中 “1” 的個數，最普通的當然是一個 O(logN) 的方法：
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function countBit(n){ var ret = 0; while(n > 0){ ret += n & 1; n >>= 1; } return ret; } |
所以我們有了版本2
這麼實現也很簡潔不是嗎？但是這麼實現是否最優？建議此處思考10秒鐘再往下看。
更快的 countBit
上一個版本的 countBit 的時間複雜度已經是 O(logN) 了，難道還可以更快嗎？當然是可以的，我們不需要去判斷每一位是不是“1”，也能知道 n 的二進位制中有幾個“1”。
有一個訣竅，是基於以下一個定律：
- 對於任意 n， n ≥ 1，有如下等式成立：
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1 |
countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1 |
這個很容易理解，大家只要想一下，對於任意 n，n – 1 的二進位制數表示正好是 n 的二進位制數的最末一個“1”退位，因此 n & n – 1 正好將 n 的最末一位“1”消去，例如：
- 6 的二進位制數是 110， 5 = 6 – 1 的二進位制數是 101，
6 & 5的二進位制數是110 & 101 == 100 - 88 的二進位制數是 1011000，87 = 88 – 1 的二進位制數是 1010111，
88 & 87 的二進位制數是 1011000 & 1010111 == 1010000
於是，我們有了一個更快的演算法：
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function countBit(n){ var ret = 0; while(n > 0){ ret++; n &= n - 1; } return ret; } function countBits(nums){ var ret = []; for(var i = 0; i <= nums; i++){ ret.push(countBit(i)); } return ret; } |
上面的 countBit(88) 只迴圈 3 次，而“版本2”的 countBit(88) 卻需要迴圈 7 次。
優化到了這個程度，是不是一切都結束了呢？從演算法上來說似乎已經是極致了？真的嗎？再給大家 30 秒時間思考一下，然後再往下看。
countBits 的時間複雜度
考慮 countBits， 上面的演算法：
- “版本1” 的時間複雜度是 O(N*M)，M 取決於 Number.prototype.toString 和 String.prototype.replace 的複雜度。
- “版本2” 的時間複雜度是 O(N*logN)
- “版本3” 的時間複雜度是 O(N*M)，M 是 N 的二進位制數中的“1”的個數，介於 1 ~ logN 之間。
上面三個版本的 countBits 的時間複雜度都大於 O(N)。那麼有沒有時間複雜度 O(N) 的演算法呢？
實際上，“版本3”已經為我們提示了答案，答案就在上面的那個定律裡，我把那個等式再寫一遍：
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1 |
countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1 |
也就是說，如果我們知道了 countBit(n & (n - 1))，那麼我們也就知道了 countBit(n)！
而我們知道 countBit(0) 的值是 0，於是，我們可以很簡單的遞推：
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function countBits(nums){ var ret = [0]; for(var i = 1; i <= nums; i++){ ret.push(ret[i & i - 1] + 1); } return ret; } |
原來就這麼簡單，你想到了嗎 ╮(╯▽╰)╭
以上就是所有的內容，簡單的題目思考起來很有意思吧？程式設計師就應該追求完美的演算法，不是嗎？
這是 leetcode 演算法面試題系列的第一期，下一期我們討論另外一道題，這道題也很有趣：判斷一個非負整數是否是 4 的整數次方，別告訴我你用迴圈，想想更巧妙的辦法吧~
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