最近在看深度學習的東西，一開始看的吳恩達的UFLDL教程，有中文版就直接看了，後來發現有些地方總是不是很明確，又去看英文版，然後又找了些資料看，才發現，中文版的譯者在翻譯的時候會對省略的公式推導過程進行補充，但是補充的又是錯的，難怪覺得有問題。反向傳播法其實是神經網路的基礎了，但是很多人在學的時候總是會遇到一些問題，或者看到大篇的公式覺得好像很難就退縮了，其實不難，就是一個鏈式求導法則反覆用。如果不想看公式，可以直接把數值帶進去，實際的計算一下，體會一下這個過程之後再來推導公式，這樣就會覺得很容易了。
說到神經網路，大家看到這個圖應該不陌生：
這是典型的三層神經網路的基本構成，Layer L1是輸入層，Layer L2是隱含層，Layer L3是隱含層，我們現在手裡有一堆資料{x1,x2,x3,...,xn},輸出也是一堆資料{y1,y2,y3,...,yn},現在要他們在隱含層做某種變換，讓你把資料灌進去後得到你期望的輸出。如果你希望你的輸出和原始輸入一樣，那麼就是最常見的自編碼模型（Auto-Encoder）。可能有人會問，為什麼要輸入輸出都一樣呢？有什麼用啊？其實應用挺廣的，在影象識別，文字分類等等都會用到，我會專門再寫一篇Auto-Encoder的文章來說明，包括一些變種之類的。如果你的輸出和原始輸入不一樣，那麼就是很常見的人工神經網路了，相當於讓原始資料通過一個對映來得到我們想要的輸出資料，也就是我們今天要講的話題。
本文直接舉一個例子，帶入數值演示反向傳播法的過程，公式的推導等到下次寫Auto-Encoder的時候再寫，其實也很簡單，感興趣的同學可以自己推導下試試：）（注：本文假設你已經懂得基本的神經網路構成，如果完全不懂，可以參考Poll寫的筆記：[Mechine Learning & Algorithm] 神經網路基礎）
假設，你有這樣一個網路層：
第一層是輸入層，包含兩個神經元i1，i2，和截距項b1；第二層是隱含層，包含兩個神經元h1,h2和截距項b2，第三層是輸出o1,o2，每條線上標的wi是層與層之間連線的權重，啟用函式我們預設為sigmoid函式。
現在對他們賦上初值，如下圖：
其中，輸入資料 i1=0.05，i2=0.10;
輸出資料 o1=0.01,o2=0.99;
初始權重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;
w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55
目標：給出輸入資料i1,i2(0.05和0.10)，使輸出儘可能與原始輸出o1,o2(0.01和0.99)接近。
Step 1 前向傳播
1.輸入層---->隱含層：
計算神經元h1的輸入加權和：
神經元h1的輸出o1:(此處用到啟用函式為sigmoid函式)：
同理，可計算出神經元h2的輸出o2：
2.隱含層---->輸出層：
計算輸出層神經元o1和o2的值：
這樣前向傳播的過程就結束了，我們得到輸出值為[0.75136079 , 0.772928465]，與實際值[0.01 , 0.99]相差還很遠，現在我們對誤差進行反向傳播，更新權值，重新計算輸出。
Step 2 反向傳播
1.計算總誤差
總誤差：(square error)
但是有兩個輸出，所以分別計算o1和o2的誤差，總誤差為兩者之和：
2.隱含層---->輸出層的權值更新：
以權重引數w5為例，如果我們想知道w5對整體誤差產生了多少影響，可以用整體誤差對w5求偏導求出：（鏈式法則）
下面的圖可以更直觀的看清楚誤差是怎樣反向傳播的：
現在我們來分別計算每個式子的值：
計算
：
計算
：
（這一步實際上就是對sigmoid函式求導，比較簡單，可以自己推導一下）
計算
：
最後三者相乘：
這樣我們就計算出整體誤差E(total)對w5的偏導值。
回過頭來再看看上面的公式，我們發現：
為了表達方便，用
來表示輸出層的誤差：
因此，整體誤差E(total)對w5的偏導公式可以寫成：
如果輸出層誤差計為負的話，也可以寫成：
最後我們來更新w5的值：
（其中，
是學習速率，這裡我們取0.5）
同理，可更新w6,w7,w8:
3.隱含層---->隱含層的權值更新：
方法其實與上面說的差不多，但是有個地方需要變一下，在上文計算總誤差對w5的偏導時，是從out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隱含層之間的權值更新時，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)會接受E(o1)和E(o2)兩個地方傳來的誤差，所以這個地方兩個都要計算。
計算
：
先計算
：
同理，計算出：
兩者相加得到總值：
再計算
：
再計算
：
最後，三者相乘：
為了簡化公式，用sigma(h1)表示隱含層單元h1的誤差：
最後，更新w1的權值：
同理，額可更新w2,w3,w4的權值：
這樣誤差反向傳播法就完成了，最後我們再把更新的權值重新計算，不停地迭代，在這個例子中第一次迭代之後，總誤差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次後，總誤差為0.000035085，輸出為[0.015912196,0.984065734](原輸入為[0.01,0.99]),證明效果還是不錯的。
程式碼(Python):
1 #coding:utf-8 2 import random 3 import math 4 5 # 6 # 引數解釋： 7 # "pd_" ：偏導的字首 8 # "d_" ：導數的字首 9 # "w_ho" ：隱含層到輸出層的權重係數索引 10 # "w_ih" ：輸入層到隱含層的權重係數的索引 11 12 class NeuralNetwork: 13 LEARNING_RATE = 0.5 14 15 def __init__(self, num_inputs, num_hidden, num_outputs, hidden_layer_weights = None, hidden_layer_bias = None, output_layer_weights = None, output_layer_bias = None): 16 self.num_inputs = num_inputs 17 18 self.hidden_layer = NeuronLayer(num_hidden, hidden_layer_bias) 19 self.output_layer = NeuronLayer(num_outputs, output_layer_bias) 20 21 self.init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(hidden_layer_weights) 22 self.init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(output_layer_weights) 23 24 def init_weights_from_inputs_to_hidden_layer_neurons(self, hidden_layer_weights): 25 weight_num = 0 26 for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)): 27 for i in range(self.num_inputs): 28 if not hidden_layer_weights: 29 self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(random.random()) 30 else: 31 self.hidden_layer.neurons[h].weights.append(hidden_layer_weights[weight_num]) 32 weight_num += 1 33 34 def init_weights_from_hidden_layer_neurons_to_output_layer_neurons(self, output_layer_weights): 35 weight_num = 0 36 for o in range(len(self.output_layer.neurons)): 37 for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)): 38 if not output_layer_weights: 39 self.output_layer.neurons[o].weights.append(random.random()) 40 else: 41 self.output_layer.neurons[o].weights.append(output_layer_weights[weight_num]) 42 weight_num += 1 43 44 def inspect(self): 45 print('------') 46 print('* Inputs: {}'.format(self.num_inputs)) 47 print('------') 48 print('Hidden Layer') 49 self.hidden_layer.inspect() 50 print('------') 51 print('* Output Layer') 52 self.output_layer.inspect() 53 print('------') 54 55 def feed_forward(self, inputs): 56 hidden_layer_outputs = self.hidden_layer.feed_forward(inputs) 57 return self.output_layer.feed_forward(hidden_layer_outputs) 58 59 def train(self, training_inputs, training_outputs): 60 self.feed_forward(training_inputs) 61 62 # 1. 輸出神經元的值 63 pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input = [0] * len(self.output_layer.neurons) 64 for o in range(len(self.output_layer.neurons)): 65 66 # ∂E/∂zⱼ 67 pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] = self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_error_wrt_total_net_input(training_outputs[o]) 68 69 # 2. 隱含層神經元的值 70 pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input = [0] * len(self.hidden_layer.neurons) 71 for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)): 72 73 # dE/dyⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * ∂z/∂yⱼ = Σ ∂E/∂zⱼ * wᵢⱼ 74 d_error_wrt_hidden_neuron_output = 0 75 for o in range(len(self.output_layer.neurons)): 76 d_error_wrt_hidden_neuron_output += pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].weights[h] 77 78 # ∂E/∂zⱼ = dE/dyⱼ * ∂zⱼ/∂ 79 pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] = d_error_wrt_hidden_neuron_output * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_input() 80 81 # 3. 更新輸出層權重係數 82 for o in range(len(self.output_layer.neurons)): 83 for w_ho in range(len(self.output_layer.neurons[o].weights)): 84 85 # ∂Eⱼ/∂wᵢⱼ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢⱼ 86 pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_output_neuron_total_net_input[o] * self.output_layer.neurons[o].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ho) 87 88 # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ 89 self.output_layer.neurons[o].weights[w_ho] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight 90 91 # 4. 更新隱含層的權重係數 92 for h in range(len(self.hidden_layer.neurons)): 93 for w_ih in range(len(self.hidden_layer.neurons[h].weights)): 94 95 # ∂Eⱼ/∂wᵢ = ∂E/∂zⱼ * ∂zⱼ/∂wᵢ 96 pd_error_wrt_weight = pd_errors_wrt_hidden_neuron_total_net_input[h] * self.hidden_layer.neurons[h].calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(w_ih) 97 98 # Δw = α * ∂Eⱼ/∂wᵢ 99 self.hidden_layer.neurons[h].weights[w_ih] -= self.LEARNING_RATE * pd_error_wrt_weight 100 101 def calculate_total_error(self, training_sets): 102 total_error = 0 103 for t in range(len(training_sets)): 104 training_inputs, training_outputs = training_sets[t] 105 self.feed_forward(training_inputs) 106 for o in range(len(training_outputs)): 107 total_error += self.output_layer.neurons[o].calculate_error(training_outputs[o]) 108 return total_error 109 110 class NeuronLayer: 111 def __init__(self, num_neurons, bias): 112 113 # 同一層的神經元共享一個截距項b 114 self.bias = bias if bias else random.random() 115 116 self.neurons = [] 117 for i in range(num_neurons): 118 self.neurons.append(Neuron(self.bias)) 119 120 def inspect(self): 121 print('Neurons:', len(self.neurons)) 122 for n in range(len(self.neurons)): 123 print(' Neuron', n) 124 for w in range(len(self.neurons[n].weights)): 125 print(' Weight:', self.neurons[n].weights[w]) 126 print(' Bias:', self.bias) 127 128 def feed_forward(self, inputs): 129 outputs = [] 130 for neuron in self.neurons: 131 outputs.append(neuron.calculate_output(inputs)) 132 return outputs 133 134 def get_outputs(self): 135 outputs = [] 136 for neuron in self.neurons: 137 outputs.append(neuron.output) 138 return outputs 139 140 class Neuron: 141 def __init__(self, bias): 142 self.bias = bias 143 self.weights = [] 144 145 def calculate_output(self, inputs): 146 self.inputs = inputs 147 self.output = self.squash(self.calculate_total_net_input()) 148 return self.output 149 150 def calculate_total_net_input(self): 151 total = 0 152 for i in range(len(self.inputs)): 153 total += self.inputs[i] * self.weights[i] 154 return total + self.bias 155 156 # 啟用函式sigmoid 157 def squash(self, total_net_input): 158 return 1 / (1 + math.exp(-total_net_input)) 159 160 161 def calculate_pd_error_wrt_total_net_input(self, target_output): 162 return self.calculate_pd_error_wrt_output(target_output) * self.calculate_pd_total_net_input_wrt_input(); 163 164 # 每一個神經元的誤差是由平方差公式計算的 165 def calculate_error(self, target_output): 166 return 0.5 * (target_output - self.output) ** 2 167 168 169 def calculate_pd_error_wrt_output(self, target_output): 170 return -(target_output - self.output) 171 172 173 def calculate_pd_total_net_input_wrt_input(self): 174 return self.output * (1 - self.output) 175 176 177 def calculate_pd_total_net_input_wrt_weight(self, index): 178 return self.inputs[index] 179 180 181 # 文中的例子: 182 183 nn = NeuralNetwork(2, 2, 2, hidden_layer_weights=[0.15, 0.2, 0.25, 0.3], hidden_layer_bias=0.35, output_layer_weights=[0.4, 0.45, 0.5, 0.55], output_layer_bias=0.6) 184 for i in range(10000): 185 nn.train([0.05, 0.1], [0.01, 0.09]) 186 print(i, round(nn.calculate_total_error([[[0.05, 0.1], [0.01, 0.09]]]), 9)) 187 188 189 #另外一個例子，可以把上面的例子註釋掉再執行一下: 190 191 # training_sets = [ 192 # [[0, 0], [0]], 193 # [[0, 1], [1]], 194 # [[1, 0], [1]], 195 # [[1, 1], [0]] 196 # ] 197 198 # nn = NeuralNetwork(len(training_sets[0][0]), 5, len(training_sets[0][1])) 199 # for i in range(10000): 200 # training_inputs, training_outputs = random.choice(training_sets) 201 # nn.train(training_inputs, training_outputs) 202 # print(i, nn.calculate_total_error(training_sets))
最後寫到這裡就結束了，現在還不會用latex編輯數學公式，本來都直接想寫在草稿紙上然後掃描了傳上來，但是覺得太影響閱讀體驗了。以後會用公式編輯器後再重把公式重新編輯一遍。穩重使用的是sigmoid啟用函式，實際還有幾種不同的啟用函式可以選擇，具體的可以參考文獻[3]，最後推薦一個線上演示神經網路變化的網址：http://www.emergentmind.com/neural-network，可以自己填輸入輸出，然後觀看每一次迭代權值的變化，很好玩~如果有錯誤的或者不懂的歡迎留言：）
參考文獻：
1.Poll的筆記：[Mechine Learning & Algorithm] 神經網路基礎（http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/5597716.html#3457159 ）
2.Rachel_Zhang:http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7758797
3.http://www.cedar.buffalo.edu/%7Esrihari/CSE574/Chap5/Chap5.3-BackProp.pdf
4.https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/
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