【計算幾何】點在多邊形內部

一點心青發表於2013-08-01

問題描述：已知點P(x,y)和多邊形Poly，判斷點P(x,y)是否在多邊形內部。

基本方法：射線法

以點P為端點，向左方作射線L，由於多邊形是有界的，所以射線L的左端一定在多邊形外部，考慮沿著L從無究遠處開始自左向右移動。

遇到和多邊形的第一個交點的時候，進入到了多邊形的內部，遇到第二個交點的時候，離開了多邊形...

因而當L和多邊形的交點數目C是奇數的時候，P在多邊形內，是偶數，則P在多邊形外。

特殊情況分析，如圖下圖(a),(b),(c),(d)所示。

圖(a)中，L和多邊形的頂點相交，交點只能計算一個。

圖(b)中，L和多邊形頂點的交點不應被計算。

圖(c)和(d)中，L和多邊形的一條邊重合，這條邊應該被忽略不計。

程式碼實現如下：

 1 typedef struct Point
 2 {
 3     int x;
 4     int y;
 5 }Point;
 6 //  The function will return YES if the point x,y is inside the polygon, or
 7 //  NO if it is not.  If the point is exactly on the edge of the polygon,
 8 //  then the function may return YES or NO.
 9 bool IsPointInPolygon(std::vector<Point> poly,Point pt)
10 {
11     int i,j;
12     bool c = false;
13     for (i = 0,j = poly.size() - 1;i < poly.size();j = i++)
14     {
15         if ((((poly[i].y <= pt.y) && (pt.y < poly[j].y)) ||
16             ((poly[j].y <= pt.y) && (pt.y < poly[i].y)))
17             && (pt.x < (poly[j].x - poly[i].x) * (pt.y - poly[i].y)/(poly[j].y - poly[i].y) + poly[i].x))
18         {
19             c = !c;
20         }
21     }
22     return c;
23 }

程式碼分析：

條件1：((ploy[i].y <= pt.y) && (pt.y < poly[j].y)) || ((ploy[j].y <= pt.y) && (pt.y < poly[i].y))

由於判斷過程主要是判斷，射線L與多邊形每條邊是否存在交點，而射線L平行於X軸，因此條件1相當於判斷點P在Pi和Pj在垂直距離之間。

條件2: (pt.x < (poly[j].x - poly[i].x) * (pt.y - poly[i].y)/(poly[j].y - poly[i].y) + poly[i].x)

條件2可轉換成：(pt.x - poly[i].x) * (poly[j].y - poly[i].y) - (poly[j].x - poly[i].x) * (pt.y - poly[i].y) < 0，相當於向量PiP和向量PiPj的叉積。

當向量PiP和向量PiPj的叉積小於0時，向量PiP在向量PiPj的逆時針方向，相當於向量PiP在向量PiPj的右側，而射線L由左側射出，而且點P在Pi和Pj在垂直距離之間，因此，射線L和PiPj的跨立條件成立，相交。

參考資料：

http://alienryderflex.com/polygon/

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