【計算幾何】線段相交

一點心青發表於2013-08-01

問題描述：已知兩條線段P1P2和Q1Q2，判斷P1P2和Q1Q2是否相交，若相交，求出交點。

兩條線段的位置關係可以分為三類：有重合部分、無重合部分但有交點、無交點。

演算法的步驟如下：

1.快速排斥實驗。

設以線段P1P2為對角線的矩形為R，設以線段Q1Q2為對角線的矩形為T，如果R和T不相交，則兩線段不相交。

2.跨立實驗。

如果兩線段相交，則兩線段必然相互跨立對方。

若P1P2跨立Q1Q2，則向量(P1-Q1)和(P2-Q1)位於向量(Q2-Q1)的兩側，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。

若Q1Q2跨立P1P2，則向量(Q1-P1)和(Q2-P1)位於向量(P2-P1)的兩側，即( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( Q2 - P1 ) × ( P2 - P1 ) < 0。

排斥實驗和跨立實驗的示例如下圖所示。

 

3.計算交點。

當判定兩條線段相交後，可以進行交點的求解，求交點可以用平面幾何方法，列點斜式方程來完成。但由於點斜式方程難以處理斜率為0的特殊情況，不方便求解。因而，參用向量法求解交點。

設交點為(x0,y0)，則下列方程組成立：

根據以上方程組，消除引數k1和k2，得到如下方程：

然後求解(x0,y0)，結果如下所示：

 1 typedef struct Point
 2 {
 3     int x;
 4     int y;
 5 }Point;
 6 //排斥實驗
 7 bool IsRectCross(const Point &p1,const Point &p2,const Point &q1,const Point &q2)
 8 {
 9     bool ret = min(p1.x,p2.x) <= max(q1.x,q2.x)    &&
10                 min(q1.x,q2.x) <= max(p1.x,p2.x) &&
11                 min(p1.y,p2.y) <= max(q1.y,q2.y) &&
12                 min(q1.y,q2.y) <= max(p1.y,p2.y);
13     return ret;
14 }
15 //跨立判斷
16 bool IsLineSegmentCross(const Point &pFirst1,const Point &pFirst2,const Point &pSecond1,const Point &pSecond2)
17 {
18     long line1,line2;
19     line1 = pFirst1.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +
20         pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond1.y) +
21         pSecond1.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);
22     line2 = pFirst1.x * (pSecond2.y - pFirst2.y) +
23         pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) + 
24         pSecond2.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);
25     if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))
26         return false;
27 
28     line1 = pSecond1.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) +
29         pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst1.y) +
30         pFirst1.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);
31     line2 = pSecond1.x * (pFirst2.y - pSecond2.y) + 
32         pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +
33         pFirst2.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);
34     if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))
35         return false;
36     return true;
37 }
38 
39 bool GetCrossPoint(const Point &p1,const Point &p2,const Point &q1,const Point &q2,long &x,long &y)
40 {
41     if(IsRectCross(p1,p2,q1,q2))
42     {
43         if (IsLineSegmentCross(p1,p2,q1,q2))
44         {
45             //求交點
46             long tmpLeft,tmpRight;
47             tmpLeft = (q2.x - q1.x) * (p1.y - p2.y) - (p2.x - p1.x) * (q1.y - q2.y);
48             tmpRight = (p1.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) * (q2.x - q1.x) + q1.x * (q2.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) - p1.x * (p2.y - p1.y) * (q2.x - q1.x);
49 
50             x = (int)((double)tmpRight/(double)tmpLeft);
51 
52             tmpLeft = (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) - (p2.y - p1.y) * (q1.x - q2.x);
53             tmpRight = p2.y * (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) + (q2.x- p2.x) * (q2.y - q1.y) * (p1.y - p2.y) - q2.y * (q1.x - q2.x) * (p2.y - p1.y); 
54             y = (int)((double)tmpRight/(double)tmpLeft);
55             return true;
56         }
57     }
58     return false;
59 }

 

 

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