傳統迴歸分析和貝葉斯機率論結合在稱為貝葉斯迴歸的統計建模技術中。考慮有關模型定義特徵的先驗知識或假設。當處理稀疏或嘈雜的資料或當您希望對模型引數進行機率宣告時，貝葉斯迴歸特別有用。
與貝葉斯迴歸相關的主要要素和思想如下：
- 先驗分佈：使用貝葉斯迴歸時，模型引數最初根據先驗分佈。在您觀察任何資料之前，這代表您對引數的假設或瞭解。如果您的先驗知識有限，則先驗資訊可能相對缺乏資訊，或者可以根據領域知識進行選擇。
- 似然函式：根據模型引數，似然函式顯示觀察資料的可能性。它衡量模型與收集的資料的匹配程度。
- 馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）：在現實世界中，透過計算可能很難建立精確的後驗分佈，特別是對於複雜的模型。吉布斯取樣和 Metropolis-Hastings 等 MCMC 技術經常用於近似後驗分佈。
- 貝葉斯推理：一旦獲得後驗分佈，就可以使用貝葉斯推理。這需要計算可信區間（類似於頻率統計中的置信區間）、進行預測並估計相關引數。
- 模型比較：透過對比多個模型的後驗機率，貝葉斯迴歸還可以進行模型比較。這可能有助於為您的資料選擇最佳模型。
總體而言，貝葉斯迴歸提供了考慮引數不確定性的機率建模框架。
貝葉斯迴歸的型別：
通常，正態分佈用於描述係數的後驗分佈。
- 貝葉斯嶺迴歸：在這種型別的嶺迴歸中，模型引數受到 L2 正則化的影響。當資料中存在多重共線性困難時，它會很有幫助，並有助於避免過度擬合。
- 貝葉斯套索迴歸：貝葉斯套索在模型引數中新增了 L1 正則化，非常類似於嶺迴歸。這可能會導致稀疏模型透過使某些係數絕對為零來執行變數選擇。
- 貝葉斯多項式迴歸：透過在模型中包含自變數的多項式項，您可以將貝葉斯迴歸轉換為多項式迴歸。因此，可以對變數之間的非線性連線進行建模。
- 廣義線性模型 (GLM)：可以修改貝葉斯迴歸以適應廣義線性模型，該模型考慮非正態響應變數並允許各種連結函式。
貝葉斯迴歸的優點：
整合先前的資訊：貝葉斯迴歸的主要優點之一是它能夠整合先前的知識或模型引數的假設。當您擁有可以改進模型的專門資訊時，這非常有幫助。
- 正則化：透過自動限制模型的複雜性，貝葉斯迴歸透過提供正則化幫助防止過度擬合。
- 處理小型資料集：由於貝葉斯方法允許您應用先前的知識來增強引數估計，因此它們在處理小型或稀疏資料集時非常有用。
挑戰和考慮因素：
計算的複雜性：對於具有大引數空間的複雜模型，計算後驗分佈可能非常耗時。為了解決這個問題，經常採用MCMC方法。
- 先驗分佈：貝葉斯迴歸結果可能會受到所選先驗分佈的影響。選擇反映您先前觀點或知識的適當先驗需要仔細考慮。
- 可解釋性：儘管貝葉斯迴歸生成了大量機率資料，但理解結果可能比傳統迴歸技術更困難。
- 模型比較：儘管貝葉斯迴歸可以比較多個模型，但模型選擇仍然具有挑戰性，特別是在處理許多潛在預測變數時。
貝葉斯迴歸的一些相關概念
以下是貝葉斯迴歸的關鍵思想：
貝葉斯原理
一旦考慮了所有可用資訊，貝葉斯定理就提供了事件的先前機會和後續機會之間的聯絡。
最大似然估計 (MLE)
它尋找為觀測資料提供最有可能擬合假定模型的引數值。MLE 給出引數的點估計，並且不考慮任何關於它們的先驗知識或假設。
最大後驗 (MAP) 估計
稱為 MAP 估計的貝葉斯方法使用似然函式和先驗知識來估計引數。在 MAP 估計中，引數被賦予先驗分佈，表示先驗假設或有關其值的資訊。
貝葉斯迴歸特點
- 先前對分析引數假設的意見也用於貝葉斯迴歸。當需要更多資料並且先驗知識至關重要時，它變得實用。貝葉斯迴歸透過將先驗資訊與觀測資料融合，提供更明智、更精確的迴歸引數估計。
- 貝葉斯迴歸提供了一種自然的方法來衡量估計迴歸引數的不確定性，因為它生成後驗分佈，表示引數值的不確定性，這與傳統迴歸技術生成的單分量估計不同。使用此分佈可以計算可靠的或貝葉斯置信區間，因為它提供了一系列可接受的引數值。
- 它使得對更復雜和更現實的預測變數和響應變數之間的關係進行建模成為可能。
- 透過計算多個模型的後驗機率，貝葉斯迴歸可以更輕鬆地選擇和比較模型。
- 與傳統迴歸技術不同，貝葉斯迴歸可以更有效地處理異常值和重要發現。
貝葉斯迴歸的實現
假設 X = x_1，x_2，...，x_P 為線性迴歸的獨立特徵，xi 為獨立特徵，Y 為目標變數。假設有 n 個 (X, y) 樣本。
我們認為誤差具有均值為 0、方差為 sigma2 的正態分佈，即 (epsilon sim N(0, sigma2))。透過這一假設，我們可以對目標變數在預期值附近的分佈進行建模。
機率函式
在獨立函式和迴歸係數之間建立聯絡的機率分佈稱為似然。它描述了從一組迴歸係數的合法組合中獲得一組特定結果的可能性。
優先順序：
優先順序是引數在檢視資料之前的原始觀點或可能性。它是關於引數的知識或假設。
在最大後驗（MAP）估計中，我們會考慮有關引數的先驗知識或假設。我們使用 P(w|alpha) =N(0,alpha-1I)表示的先驗分佈來表達這種先驗知識。
後驗分佈：
我們可以在整個最佳化過程中忽略它，因為它與引數設定無關。
P(w | X,alpha,beta-1) 是 propto(L(Y|X,w,beta-1) cdot P(w|alpha))。
傳統的迴歸分析與貝葉斯機率論相結合，形成了一種稱為貝葉斯迴歸的統計建模技術。貝葉斯迴歸考慮了有關模型定義特徵的先驗知識或假設。貝葉斯迴歸在處理稀疏或有噪聲的資料時，或在希望對模型引數提出機率主張時特別有用。
結論：
總之，貝葉斯迴歸是一種有效的統計框架，它透過將先驗知識與觀察到的資料融合來產生機率建模和推理。在進行預測或估計引數並且您希望量化不確定性、考慮先驗資訊並規範化模型時，它非常有用。然而，對於複雜的模型來說，它可能會造成計算負擔，並且需要仔細選擇。